Skip to main content

Full text of "Over de grondslagen der wiskunde"

See other formats


OVER DE GRONDSLAGEN 



DER WISKUNDE 



ACADEMISCH PROEFSCHRIFT 

TERVERKRIJGINGVAN DEN GRAAD VAN DOCTOR 
IN DE WIS- EN NATUURKUNDE AAN DE UNI- 
VERSITEIT VAN AMSTERDAM, OP GEZAG VAN 
DEN RECTOR MAGNIFICUS Dr. J. ROTGANS, 
HOOGLEERAAR IN DE FACULTEIT DER GENEES- 
KUNDE, IN HET OPENBAAR TE VERDEDIGEN OP 
DINSDAG 19 FEBRUARI 1907 DES NAMIDDAGS 
TE 3 URE IN DE AULA DER UNIVERSITEIT 
DOOR LUITZEN EGBERTUS JAN BROUWER, 
I I GEBOREN TE OVERSCHIe"' I I 



MAAS & VAN SUCHTELEN 
AMSTERDAM— LEIPZIG. MCMVII. 

( iCio^l 



ah 



LIBRARY 

725773 

'•■■VERSITY OF TORONTO 



STELLINGEN. 
I. 

Ten onrechte zegt Schubert {Enz. der Math. 
Wiss. I A. I. § i): 

,,Dinge zahlen heisst: sie als gleichartig ansehen, 
zusammen auffassen, und ihnen einzeln andere 
Dinge zuordnen, die man auch als gleichartig 

ansieht." ,, Wegen der Gleichartigkeit der Ein- 

heiten unter einander ist die Zahl unabhangig von 
der Reihenfolge, in welcher den Emheiten die Einer 
zugeordnet werden." 

II. 

De geoorloofdheid der volledige inductie kan 
niet alleen niet worden bewezen, maar behoort ook 
geen plaats als afzonderlijk axioma of afzonderlijk 
ingeziene intuïtieve waarheid in te nemen. Volledige 
inductie is een daad van wiskundig bouwen, die 
in de oer-intuïtie der wiskunde reeds haar recht- 
vaardiging heeft. 



III. 



Df taal van de Euclidische meetkunde, en even- 
eens van de daarin door Pasch en Hilbert ge- 
brachte verbeteringen ontleent haar betrouwbaarheid 
slechts hieraan, dat tevoren onafhankelijk van die 
taal de wiskundige systemen en relaties zijn opge- 
bouwd, die door de woorden als afgesproken teekens 
symbolisch voorgesteld worden. 

De meetkunde van Euclides en evenzoo de ver- 
schillende pathologische geometrieën van Hilbert 
verschijnen, op deze wijze bezien, als bestudeering 
van in gegeven systemen in te passen, zekere eigen- 
schappen bezittende transformatiegroepen. 



IV. 



De verdediging door Klein (,,Zur er sten Verteilung 
des Lobatcheffsky-Preises" , Mathem. Ann. 5o) van de 
beperking tot analytische transformaties bij de on- 
derzoekingen van LiE over de grondslagen der meet- 
kunde, is ongegrond. 



V. 



De hoofdbewerkingen op het meetbaar continuüm 
behooren door groepentheorie te worden gedefinieerd. 



VI. 

In de natuurkunde is een onderscheiding tusschen 
phenomenologische en theoretische beschouwingen 
niet vol te houden. In het bijzonder bestaat tus- 
schen het karakter der verklaring van de eigen- 
schappen van gassen en vloeistoffen door moleculen 
en van die van het licht door electrische trillingen 
geen principieel onderscheid. 

VII. 

Het toekennen van ,, objectiviteit" aan physische 
grootheden als massa en aantal berust op de inva- 
riabiliteit daarvan bij een belangrijke groep van 
verschijnselen in het wiskundig natuurbeeld. 

VIII. 

De verstandhouding der menschen berust op het 
bouwen van gemeenschappelijke wiskundige syste- 
men, en het verbinden aan eenzelfde element van 
zulk een systeem van een levenselement voor elk 
der individuen. 

IX. 

Wiskunde is onafhankelijk van logica ; practische 
logica en theoretische logica zijn toepassingen van 
verschillende gedeelten der wiskunde. 

3 



X. 

Logische redeneeringen over de wereld kunnen 
alleen zeker gaan, als begeleiding van vooraf opge- 
bouwde op de wereld geprojecteerde wiskundige 
systemen ; de contradicties van de logistiek behooren 
te worden verklaard uit het ontbreken van zulke 
systemen, de antinomieën van Kant uit het niet 
vasthouden aan eenzelfde wiskundig, systeem over 
het geheele verloop van eenzelfde redeneering. 



XI. 



Ten onrechte zegt Houèl {Cours de Calcul Infi- 
nitésimal tome I, pag. 3): 

,,Une Science fondée sur des hypotheses qui 
sont compatibles entre elles, et qui ne sont pas réduc- 
tibles a un moindre nombre, est absolument vraie 
au point de vue rationnel et abstrait, quand même 
elle ne se trouverait pas conforme aux faits réels 
qu'elle était destinée a représenter." 



XII. 



Behalve de eindige, bestaan geen andere mach- 
tigheden dan 

aftelbaar oneindig 
aftelbaar oneindig onaf 
continu. 



XIII. 

De tweede getalklasse van Cantor bestaat niet. 

XIV. 

Clausius (Die Potentialjunktion nnd das Potential, 
4*^ Aufl., Leipzig i885, pag. 127) legt aan een 

scalarfunctie U, om gelijk aan — /^ te zijn, 

de volgende 4 voorwaarden op: 

1°. lim V = o. 

2». l.mR|-U=o. 

3". U en haar eerste en tweede algeleiden mogen 

nergens oneindig worden, 
4°. v'^U kan binnen een zekere in 't eindige 

gelegen ruimte willekeurige eindige waarden 

hebben, maar is daarbuiten tot in 't oneindige 

overal o. 

Van deze vier voorwaarden zijn de laatste drie over- 
bodig. Wel moet men eventueele V^ in 't oneindige 
in rekening brengen, maar voor beschouwing van 
de gradiënt kan dit weer buiten rekening worden 
gelaten. 

XV. 

Clausius (1. c pag. i25) leidt uit de 1. c. pag. 
118 gestelde voorwaarden, dat in 't oneindige lim R 

5 



en lim R ^ „ niet oneindig groot mogen worden , 
c' R. 

de eenduidigheid der GREEN'sche functie u af. 

Voldoende is hier echter de voorwaarde, dat u 
in 't oneindige o wordt. 

XVI. 

Blumental bewijst Math, Ann. 6i pag. 235 sqq. 
voor vectordistributies, die in het oneindige o wor- 
den, met behulp van de eindigheid en differentieer- 
baarheid: 

Deze stelling is echter juist, onafhankelijk van 
de eindigheid en differentieerbaarheid. 



XVII. 

Bij het verifieeren, of een uit een differentiaalverge- * 
lijking afgeleide singuliere oplossing werkelijk voldoet, 
is het niet noodig, om haar, zooals algemeen wordt 
aangegeven, in de differentiaalvergelijking te substi- 
tueeren. 

Cayley, Messenger of Mathematics II pag. 6 — 12, VI 

pag. 23 — 27. 
FORSYTH, A Treatise on Differential Equations, pag. 30 — 36. 
HOUËL, Cours de Calcul Infinitésinial, tome II, % 855. 



XVIII. 

Laurent [Sttr les principes fondament au x de la 
Theorie des notnbr es et de la Geometrie pag. 9) verzuimt 
een bewijs te geven, dat in een systeem van homogene 
quantiteiten een quantiteit, die va7t een effect nul is 
ten opzichte van één andere quantiteit, dat ook is ten 
opzichte van alle quantiteiten. 

Verder ontbreekt (1. c. pag. 20 en 23) een bewijs 
voor het Archimedische axioma. 

XIX. 

In de logistiek behoort streng te worden onder- 
scheiden tusschen het teekensysteem, dat wordt op- 
gebouwd, en de principes volgens welke het wordt 
opgebouwd. 

XX. 

Het kan niet gelukken, de betrouwbaarheid der 
wiskundige redeneeringen te verzekeren, enkel door 
uit te gaan van eenige scherp gestelde axioma's en 
verder streng vast te houden aan de wetten der theo- 
retische logica. 

XXI. 

Ongegrond is de overtuiging van Hilbert {Gött. 
Nachr. 1900, pag. 261): 

„dass ein jedes bestimmte mathematische Problem 



einer strengen Erledigung notwendig fahig sein 
müsse, sei es, dass es gelingt, die Beantwortung der 
gestellten Frage zu geben, sei es dass die Unmög- 
lichkeit der Lösung und damit die Notwendigkeit des 
Misslingens aller Versuche dargetan wird. 



I' 



Bij het indienen van dit proefschrift blijjt mij de 
aangename plicht, u, hooggeleerde van der Waals, 
VAN Pesch, Sissingh, Zeeman te danken voor het 
onderricht, dat ik van u heb mogen ontvangen. 

En in het bijzonder u, hooggeachte promotor Kor- 
teweg voor den grooten invloed op mijn weten- 
schappelijke vorming uitgeoefend, en voor de tegemoet- 
koming, belangstelling, en aanmoediging steeds van u 
ondervonden . 





INDEX. 




I. 


De Opbouw der Wiskunde 


pag- 
I 


II. 


Wiskunde en Ervaring .... 


• . 79 


III. 


Wiskunde en Logica .... 


. . 123 




Samenvatting ....... 


• . 179 




Namenregister 


. 181 



L 



DE OPBOUW 
DHR WISKUNDE 



,,Een, twee, drie . . . .", de rij dezer klanken Rekenkunde 
(gesproken ordinaal-getallen) kennen we uit ons ^^^ geheeie ge- 
hoofd als een reeks zonder einde, d. w. z. die 
zich altijd door voortzet volgens een als vast ge- 
kende wet. 

Naast deze rij van klankbeelden bezitten we andere 
volgens een vaste wet voortschrijdende voorstel- 
lingsreeksen, zoo de rij der schriftteekens (geschreven 
ordinaal-getallen) 1, 2, 3 . . . . 

Deze dingen zijn intuitief duidelijk. 

Laat ik nu de rij afbreken b.v. bij 23, en 
iaat ik er dezelfde afgebroken rij nog eens onder 
schrijven ; tusschen beide rijen bestaat dan een 
correspondentie één aan één. Verwissel ik twee 
van de getallen der bovenste rij van plaats, dan blijft 
de correspondentie één aan één bestaan. Door zulke 
verwisselingen kan ik zorgen, dat een uitgekozen 
element van de eerste rij correspondeert met het 
element 1 der tweede rij ; dan dat een uitgekozen 



element van de overblijvende der eerste rij corres- 
pondeert met het element 2 der tweede rij, enz. ; 
ik kan m. a. w. een ,, willekeurige volgorde" in de 
elementen der eerste rij aanbrengen ; maar de ordi- 
naalgetallenreeks der tweede rij, waarmee ze cor- 
respondeert, blijft dezelfde. Hieruit volgt, dat een 
willekeurige verzameling van gestelde teekens, die 
eenmaal geteld is, in een andere volgorde geteld, 
hetzelfde ,, aantal" zal geven, d. w. z. de reeks der 
ordinaalgetallen, waarmee ze één aan één in corres- 
pondentie is gebracht, zal bij hetzelfde getal afbreken. 
(Hoofdstelling der rekenkunde). 

Onder 3 + 4 versta ik: Eerst tellen tot 3, en dan 
doorgaan met tellen, maar de vervolgens komende 
elementen één aan één correspondeeren laten met 
de reeks der ordinaalgetallen 1 ... 4. Uit de hoofd- 
stelling der rekenkunde volgt : 3 -}- 4 = 4 -|- 3 ')• 
Evenzoo (3 + 4 ) + 5 = 3 + (4 + 5). 

Onder 9X4 versta ik : Tel tot 4, zet dan op 
een andere rij het cijfer 1 ; tel op de eerste rij nog 
4 er bij (de reeds beschreven operatie ,,-|-4"), zet 
dan op de tweede rij het cijfer 2, enz. ; totdat op 
de tweede rij het cijfer 9 bereikt is. Onder 9X4 



^) Immers 3 -+- 4 voert tot 1 — 2 — 3 — 4—5 — 6—7, waar 
4 — 5 — 6 — 7 één aan één correspondeert met 1 — 2 — 3 — 4. Door 
verwisseling ontstaat 4 — 5 — 6 — 7 — 1 — 2 — 3. Hier correspon- 
deert 4 — 5 — 6 — 7 nog steeds met 1 — 2 — 3 — 4 en 1 — 2 — 3 
met zich zelf. De geheele rij correspondeert derhalve één aan één 
met die welke door het aftellen van 4 4 3 ontstaat. 



wordt verstaan het dan op de eerste rij bereikte 
getal. Met behulp der hoofdstelling zijn eenvoudig 
af te leiden : 

9X4 = 4 X 9; (9 X 4) X 5 = 9 X ^4 X 5); 

9 X (4 + 5) = (9 X 4) + (9 X 5). 

Onder 4^ versta ik: Tel eerst tot 4, zet dan op 
een andere rij het cijfer 1 ; voer daarna de reeds 
beschreven operatie ,,4 X" uit en zet op de tweede 
rij het cijler 2; voer wederom die operatie uit en 
zet het cijfer 3, en ga daarmee voort tot op die 
tweede rij het cijfer 5 verkregen is. Onder 4^ wordt 
verstaan het dan op de eerste rij bereikte getal. 

We kunnen nu de rij der ordinaalgetallen naar Negatieve ge- 
links voortzetten met o, — 1, — 2, enz., uit tel- *^"^"- 
lingen in twee richtingen de optelling van alge- 
braïsche geheele getallen definieeren, daaruit de 
aftrekking en de vermenigvuldiging met een posi- 
tieven factor; vervolgens de operatie — ( ), en aan- 
toonen dat die met de vermenigvuldiging commu- 
tatief en associatief is, waaruit dan de definitie en 
eigenschappen van vermenigvuldiging met een negatief 
getal voortvloeien. 

Onder een rationaal getal verstaan we een paar Gebroken ge- 

a tallen. 

van ordinaalgetallen, geschreven—, waarvan we, door 

a — a 
— r = ~j — te stellen, altijd kunnen zorgen, dat het twee- 
de, de ,,noemer",positief is. We rangschikken ze onder- 
ling, door - =^ - te stellen, zoo (a X d) = (b X c). 

5 



We rangschikken ze tusschen de ordinaalgetallen.door 

9- a c ad -{- bc 

" - a te stellen. Onder ^ 4- j verstaan we —, ; 

1 „ „ b ' d bd 

onder - v - verstaan we ,— . De commutatieve, 
b d bd 

associatieve en distributieve eigenschappen zijn nu 

licht te bewijzen; ook volgt eenvoudig, als we ,, — "en 

„:" op de bekende wijze door middel van ,,-}-" en ,,X" 

, r - a c ad — bc a c ad 

dennieeren : , , =;: , -^, en -- : - = -— . 

b d bd b d bc 

irrationaie Vervolgens kunnen we stap voor stap de gebruike- 

getaiien. j-jj^^ irrationalen, (in de eerste plaats de vormen 
met gebroken exponenten) invoeren, door ze als 
een symbolisch agglomeraat van reeds ingevoerde 
getallen te schrijven '), en daarin verder te lezen 
een verdeeling dier reeds ingevoerde getallen in 
twee klassen, de tweede waarvan geheel op de eerste 
volgt, en geen eerste element heeft 5); de orderelatie 

(d. w. z. de voorwaarde voor ^) der nieuwe getallen 

tusschen de oude wordt dan op grond van die schei- 



^) Zoo zullen b. v. de wortels van een hoogeremachtsvergelij- 
king worden gelezen als symbolisch agglomeraat van haar coëfn- 
cienten, aangevuld met een rangcijfer, dat de verschillende wor- 
tels, [gerangschikt b. v. eerst naar den modulus en voor gelijke 
modulus naar het argument], van elkander onderscheidt. 

*) terwijl daarentegen de eerste dezer klassen somtijds een 
der reeds ingevoerde getallen als laatste element bezitten kan 

(zooals 2 bij 4*). 



ding vastgesteld ; evenzoo de bewerkingen met de 
nieuwe getallen, die aan weer nieuwe getallen het 
aanzijn kunnen geven, en ten slotte worden de reeds 
vroeger ingevoerde getallen eenduidig met een ge- 
deelte der nieuwe symbolen in correspondentie ge- 
bracht, n.1. met diegene, die in de oude getallen 
een laagste klasse met een hoogste element bepaalden. 
De ingevoerde symbolische agglomeraten kunnen elk 
eindig aantal willekeurige reeds ingevoerde getallen 
bevatten. Daaruit volgt, dat op elk punt van ont- 
wikkeling der theorie het geheel der bekende getallen 
aftelbaar ^) blijft. Immers een aftelbaar aantal aftel- 
bare hoeveelheden is volgens een eenvoudig bewijs 
van Cantor (Journ. f. Math. 84, pag. 243) ook aftel- 
baar. 

Het geheel der getallen, die men zoo op elk 
punt van ontwikkeling der theorie heeft ingevoerd, 
heeft verder de eigenschap, dat het in zich overal 
dicht is, d.w.z. dat tusschen elke twee nog ver- 
dere elementen liggen ^). Het heeft dus volgens 
Cantor (Math. Annalen 46) het ordetype n der 
rationale getallen, d w.z. is met behoud der orde- 



') d. vv. z. in uniforme correspondentie te brengen met de 
reeks der ordinaalgetallen. 

*) In het bijzonder liggen tusschen elke twee een oneindig 
aantal rationale getallen, hetgeen we uitdrukken door te zeggen, 
dat het systeem der rationale getallen ten opzichte van het geheel 
der ingevoerde getallen relatief dicht ligt. 



relaties op het systeem der rationale getallen af te 
beelden. 

Het zou niet moeilijk zijn, de nieuwe getallen 
zoo in te voeren, dat het ordetype *j verloren ging, — 
we zullen daarvan bij den opbouw der meet- 
kunde voorbeelden zien — maar men doet het op 
de aangegeven wijze uit overwegingen van doel- 
matigheid, die verband houden met de schepping 
van het meetbaar continuüm, dat we nu gaan be- 
schouwen. 

Het continuüm. In de volgende hoofdstukken zullen we nader in- 
gaan op de oer-intuitie der wiskunde (en van alle 
werking van het intellect) als het van qualiteit 
ontdane substraat van alle waarneming van ver- 
andering, een eenheid van continu en discreet, een 
mogelijkheid van samendenken van meerdere een- 
heden, verbonden door een ,,tusschen", dat door 
inschakeling van nieuwe eenheden, zich nooit uitput. 
Waar dus in die oer-intuitie continu en discreet als 
onafscheidelijke complementen optreden, beide ge- 
lijkgerechtigd en even duidelijk, is het uitgesloten, 
zich van een van beide als oorspronkelijke entiteit 
vrij te houden, en dat dan uit het op zichzelf 
gestelde andere op te bouwen ; immers het is al 
onmogelijk, dat andere op zichzelf te stellen. De 
continuum-intuitie, het ,, vloeiende", dus als oorspron- 
kelijk erkennende, zoo goed als het samendenken 
van meerdere dingen in één, die aan elk wiskundig 

8 



gebouw ten grondslag ligt, kunnen we van het con- 
tinuüm als ,, matrix van samen te denken punten" 
eigenschappen noemen. 

Vooreerst is er geen eerste of laatste punt; een 
puntrij van het ordetype van alle positieve en nega- 
tieve getallen is er gemakkelijk op te bouwen ; 
nemen we vervolgens in elk interval weer een punt, 
in elk der zoo komende intervallen weer, enz., dan 
krijgen we het ordetype ^ op het continuüm ; dat we 
op deze wijze het eenvoudigste laten correspondeeren 
met het systeem der eindige duaalbreuken '), maar 
we zouden het even goed kunnen lezen als een 
der boven ingevoerde in zich overal dichte getallen- 
systemen ; we zien dan direct, dat er op het con- 
tinuüm nog punten zijn, die niet na een eindig 
aantal der genoemde operaties, elk bestaande in de 
invoeging van een punt in alle intervallen '), bereikt 
worden ; immers we kunnen, een bepaald punt P 
uitkiezend, bij het construeeren der schaal zorgen, 
dat we buiten dat punt blijven ; we kunnen zelfs 
zorgen, dat de benadering van het punt door een 
oneindige duaalbreuk volgens een willekeurige denk- 
bare voortschrijdingswet plaats heeft ; terwijl dan 



^) dat wil zeggen de in het tweetallig stelsel geschreven breu- 
ken, waarin dus voor en achter de komma geen andere cijfers dan 
1 en o optreden. 

*) We kunnen die operatie de ,,tweedeeling" der intervallen 
noemen. 



toch het continuüm met schaal, op deze wijze gecon- 
strueerd, in niets zich onderscheidt van een conti- 
nuüm met geheel vrij geconstrueerde schaal; omge- 
keerd leiden we hieruit af, dat voor een eenmaal op 
het continuüm geconstrueerde schaal voor elke 
denkbare voortschrijdingswet een punt bestaat. 

We kunnen de benaderingsreeks van een bepaald 
aangewezen punt evenveel nooit af denken, dus 
moeten haar als gedeeltelijk onbekend beschouwen. 

Uit het voorkomen van elke willekeurige bena- 
deringswet is volgens Cantor (Jahresbericht der 
Deutschen Math. Vereinigung I, pag. 77; vgl. 
ScHOENFLiES, Bericht über die Mengenlehre, ibid. 
VIII pag. 20) af te leiden, dat niet alle punten 
van het continuüm zijn af te tellen, d. w. z. dat 
er buiten elke aftelbare hoeveelheid van zulke 
punten nog andere zijn ; (terwijl we hebben gezien, 
dat het systeem der opgebouwde getallen, die even- 
eens zijn te benaderen door een eindige of onein- 
dige duaalbreuk, in elk stadium der theorie aftel- 
baar is.) 
Hel iTieetbaar Als WC de duale schaal naar willekeur constru- 
eeren, is het niet zeker dat ze overal dicht wordt, 
d. w. z. in elk segment van het continuüm doordringt. 
Maar we spreken af, dat we elk segment, waarin 
de schaal niet doordringt, tot een enkel punt denken 
samengetrokken, m. a. w. we stellen twee punten 
alleen dan verschillend, als hun duale benaderings- 
breuken na een eindig aantal cijfers gaan verschillen. 

10 



continuüm. 



Nemen we op de geconstrueerde schaal nog een 
willekeurig punt als nulpunt aan, dan heeft de 
schaal het continuüm tot een meetbaar continuüm 
gemaakt. Uit de meetbaarheid leiden we af, dat elk 
aftelbaar oneindig aantal punten, gelegen binnen 
een door twee punten begrensd segment, minstens 
één grenspunt heeft, d.w.z. minstens één punt zóó, 
dat naar minstens een van beide kanten binnen elk er 
aan grenzend segment, hoe klein ook, nog andere 
punten liggen. ') (Immers anders zou er een kortste 
afstand tusschen puntenparen zijn, en die zou op 



O Door op een segment tusschen twee punten van het con- 
tinuüm, en die punten niet bevattend, een puntrij van het ordetype 
van alle positieve en negatieve geheele getallen te construeeren, 
die volgens de maat der duale schaal onbepaald nadert tot de 
beide eindpunten van het segment, en daartusschen een nieuwe 
duale schaal te construeeren, die in elk deelsegment van het 
gegeven segment indringt, toonen we aan, dat het genoemde 
segment als puntenmatrix gelijkwaardig is met het geheele con- 
tinuüm ; beide vormen een zoogenaamd opc/i continin<m. 

We kunnen hieruit als volgt het gesloten continuüm opbouwen. 

P 

\ n Een willekeurig punt P op een open 

continuüm «^ heeft links en rechts van zich twee nieuwe open 
continua a.y en 5(3. Omgekeerd bouwen we uit twee open continua 
«y en 5/3 een nieuw open continuüm a|3 op, door y en 5 door 
invoeging van een enkel punt P aan elkaar te koppelen. 
We kunnen nu echter een analoge operatie nog eens doen, door 
ook a en ^ door invoeging van een enkel punt aan elkaar te 
koppelen ; dan hebben we een gesloten continuüm gekregen. 

II 



het eindige segment slechts een eindig aantal malen 

kunnen worden afgepast.) 
De verschui- We gaan over tot beschouwingen van transfor- 

vingstransfor- j^j^ties van ounten van het meetbaar continuüm in 

matie. ^ 

elkander, en beginnen met de verschuivings trans- 
formatie, die wij uitdrukken door ,,-j- a", als a 
het punt is, waarin het nulpunt overgaat. Zij is op 
grond van de schaalverdeeling direct duidelijk ; en 
we zien, dat die operatie een groep vormt (dit 
volgt uit de associatieve eigenschap der optelling), en 
ook dat ze commutatief is. (d. w. z. dat a -j- b =r b 
-|- a, dat de operatie ,,-\- b" op a toegepast, het- 
zelfde resultaat geeft als de operatie ,,-|- a" op b 
toegepast). '). 

Van de genoemde groep gelden de volgende 
eigenschappen : 

P. Ze is eenledig continu, d. i. de verschillende 
transformaties zijn langs een lineair continuüm te 
rangschikken zóó, dat met een continue beweging 
langs dat beeldcontinuum correspondeeren gelijktij- 
dige continue bewegingen voor alle punten van 
het getransformeerd wordende continuüm. 

2". Ze is uniform, d. w. z. elke transformatie 



^) Voor punten der geconstrueerde schaal volgt die commu- 
tatieve eigenschap uit de commutatieve eigenschap der optelling 
van rationale getallen, terwijl voor punten a en b niet tot die 
schaal behoorende a + b en b + a dezelfde opvolgende benaderings- 
punten op de schaal geven, waaruit dan op grond van de 
meetbaarheid van het continuüm volgt, dat ze gelijk zijn. 

12 



voert twee verschillende punten weer in twee ver- 
schillende punten over. 

3". Ze is afgesloten, d. w. z. is A^, A^, A3 — 
een aftelbaar oneindige puntrij, die op het meetbaar 
continuüm A tot grenspunt heeft, en evenzoo Bj, 

Bj, B3 een aftelbaar oneindige puntrij, die op het 

meetbaar continuüm B tot grenspunt heeft, en is er 
een transformatie van de groep, die het puntenpaar 
A^i Bj overvoert in Ag Bj, evenzoo een transformatie, 
die het overvoert in Ag B3, enz., dan is er ook een 
transformatie, die het overvoert in AB. 

Zij nu gegeven een willekeurige transformatiegroep GroepdeHni- 
op het meetbaar continuüm, die de 3 bovengenoemde *'^ ^" opteiimg 

f . ,. ' . . op het conti- 

eigenschappen bezit, die dus is eenledig continu, nuum. 
uniform en afgesloten. We kunnen dan daaruit de 
volgende verdere eigenschappen afleiden. 

4°. De volgorde der punten moet bij alle trans- 
formaties onveranderd blijven ; immers anders zouden 
twee punten, wier volgorde veranderd is, elkaar op 
hun continue banen ontmoet hebben, en zou de 
uniformiteit der groep gestoord zijn. 

5°. Twee verschillende punten kunnen niet door 
transformaties uit de groep elkander in 't eindige 
onbepaald naderen. Immers dan zou uit de afge- 
slotenheid volgen, dat ze samen in een gemeen- 
schappelijk grenspunt konden overgaan, hetgeen weer 
zou strijden tegen de uniformiteit. 

6°. Een grenspunt van een puntrij gaat bij een 
transformatie over in een grenspunt van de getrans- 

i3 



formeerde puntrij. Immers kiezen we uit de eerste 
puntrij een rij p uit, waarvan elk volgend punt 
rechts (resp. links) van het voorgaande ligt, en die 
zoo het grenspunt in kwestie P benadert, dan geeft 
die rij bij transformatie een eveneens aftelbaar onein- 
dige rij q, waarvan elk volgend punt rechts (resp. 
links) van het voorgaande ligt. Zij verder Q het 
punt, waarin P door de transformatie wordt over- 
gevoerd, dan ligt er geen punt tusschen Q en alle 
punten q, omdat er geen punt ligt tusschen P en 
alle punten p ; Q is dus grenspunt van q. 

Kiezen we nu een willekeurig punt als nulpunt, 
en gaan we uit van een willekeurige transformatie 
uit de groep, die het punt o overvoert in het 
punt a, en die we daarom noemen de transformatie 
,,+ a". Het punt, waarin het punt a door de trans- 
formatie wordt overgevoerd, noemen we 2a; dat, 
waarin het punt 2a wordt overgevoerd, 3a; enz. 
Door de transformatie is nu een uniforme corres- 
pondentie tusschen de punten der zoo geconstru- 
eerde segmenten bepaald. 

Tusschen het punt o en het punt a moet ergens 
een punt b liggen zóó, dat de transformatie, die o 
in b overvoert, b in a overvoert, dat dus de operatie 
,,+ b", tweemaal achtereen toegepast, aequivalent 
is met de operatie ,,+ a". We stellen b = 4- a, en 
de correspondeerende punten van b in de verdere 
segmenten tusschen na en (n -{- 1) a, analoog = 
f a, I a enz. Het continuüm is nu verdeeld in 

14 



segmenten ^ b = | a, en de punten van al die 
segmenten zijn in uniforme correspondentie. 

Zoo voortgaande, construeeren we uit de operatie 
,,-f-c", die, tweemaal achtereen toegepast, aequi- 
valent is met ,,-|- b", een verdeeling van het con- 
tinuüm in segmenten = c = |- b = |^ a, en krijgen 
ten slotte een volledige, in zich overal dichte, duale 
schaal, die de volgende eigenschappen heeft : 

a. Ze heeft links noch rechts een begrenzend 
punt; immers dan zouden de punten a, 2a, 3a enz. 
een grenspunt hebben, en zouden de punten a en 2a 
elkaar bij dat grenspunt onbepaald kunnen naderen, 
hetgeen zou strijden tegen de boven onder 5° 
genoemde eigenschap. 

b. Ze ligt op het meetbaar continuüm overal 
dicht, d. w. z. dringt in elk segment van het meet- 
baar continuüm in. Immers vooreerst is duidelijk, 
dat de schaal onbepaald kleine segmenten bezit; 
was er nu een segment op het meetbaar continuüm, 
waarbinnen de schaal niet indrong, dan zou men 
binnen dat segment twee punten A en B kunnen 
kiezen, en er zouden voor elk segment van de schaal 
transformaties zijn, die die punten samen er binnen 
brachten ; daar er nu onbepaald kleine segmenten 
van de schaal zijn, zouden A en B elkaar onbepaald 
kunnen naderen, hetgeen weer tegen de eigenschap 5*^ 
zou strijden. 

Uit de eigenschappen a) en b) volgt, dat de bij 
de groep behoorende schaal het continuüm op een 

i5 



nieuwe wijze meetbaar maakt ; en hieruit volgt de 
eigenschap: 

7*^. De groep is commutatief. 

Ten slotte merken we op, dat door herhaling 
van een willekeurige continu uitgevoerde transformatie 
uit de groep, elke transformatie uit de groep wordt 
gepasseerd, hetgeen we uitdrukken door: 

8°, De groepparameter is meetbaar. 

We hebben zoo gezien, dat een eenmaal als 
meetbaar bekend continuüm op een onbepaald aantal 
wijzen kan gemeten worden ; immers bij elke eenledig 
continue, uniforme, afgesloten groep behoort een 
wijze van meetbaarheid ; omgekeerd behoort bij elke 
wijze van meetbaarheid een eenledig continue, uni- 
forme, afgesloten groep. 

Laten we nu de voorwaarde 3*^ voor de groep 
weg, dan vervalt ook de eigenschap 5^; het blijft 
mogelijk een in zich overal dichte schaal bij de 
groep te construeeren, maar de eigenschappen a) en 
b) kunnen op de boven aangegeven wijze niet meer 
worden bewezen ; evenmin voor de groep de eigen- 
schappen 7° en 8°. Beschouwen we echter zulk een 
overal dichte schaal, die de eigenschap b) niet 
bezit, nader. 

We zien dan, dat, terwijl in de bijbehoorende 
groep een punt van het continuüm zich binnen een 
vrij interval beweegt, de grenspunten van de schaal 
invariant blijven, We hebben dus transformaties, die, 
hoe vaak ook herhaald, sommige punten op hun plaats 

l6 



laten, welke punten bij andere transformaties zich 
wèl bewegen ; herhaling van continue transformaties 
van de eer-ste soort doet dus nooit een transfor- 
matie van de tweede soort passeeren, hetgeen we 
uitdrukken, door de groep niet-meetbaar of niet- 
Architnedisch te noemen. Maar ook zien we in deze 
groep transformaties, die het geheele vrije interval 
in een enkel grenspunt van de schaal overvoeren. 
Deze groep is dus niet uniform. De eigenschap bj 
van de schaal blijkt dus een noodzakelijk gevolg 
te zijn van de eigenschappen 1" en 2° van de 
groep. 

Anders voor de eigenschap a). Immers de ver- 
schuivingstransformatiegroep bij een op het conti- 
nuüm overal dichte schaal, die links of rechts of 
aan beide zijden een begrenzend grenspunt heeft, 
is binnen het gebied van die schaal eenledig continu 
en uniform. Alleen moeten we opmerken, dat nu 
de punten binnen dat gebied bij geen transformatie 
de begrenzende punten kunnen overschrijden, en 
dat die begrenzende punten zelf invariant blijven. 
We zien verder, dat de eigenschappen 3° (afge- 
slotenheid) en 5*^ voor het gebied der schaal bestaan, 
als we de begrenzende punten uitdrukkelijk uitzon- 
deren, want daar kunnen twee verschillende punten 
elkaar wel onbepaald naderen, terwijl er geen trans- 
formatie van de groep is, die ze daar beide in hun 
grenspunt overvoert. 

De punten buiten het gebied van de schaal 

2 17 



kunnen bij de groep invariant blijven, of getrans- 
formeerd worden binnen nieuwe schaalgebieden, 
van elkaar gescheiden door invariant blijvende be- 
grenzende punten. De beschouwde groep bepaalt 
dus op het meetbaar continuüm een eindige of 
oneindige reeks van aan elkaar grenzende eindige 
segmenten, die elk óf invariant blijven, óf worden 
getransformeerd volgens een eenledig continue, 
uniforme, en buiten de begrenzende punten afge- 
sloten groep. 

De invariante scheidingspunten der segmenten noe- 
men we de dubbelpuntcn der groep. 

De groep is in elk segment tusschen twee dub- 
belpunten commutatief, terwijl ook de groeppara- 
meter meetbaar is. (beide eigenschappen volgen uit 
de overal- dichtheid der groepschalen.) 

Resumeerende, hebben we voor zekere groepen 
op het meetbaar continuüm de voorwaarden gesteld, 
dat ze zijn : 

1^\ eenledie^ continu, 

2^'. uniform. 

en hebben daaruit voor zulk een groep de vol- 
gende verdere eigenschappen afgeleid: 

3^. Ze verdeelt het continuüm in eindige segmen- 
ten, wier scheidingspunten, de dubbelpunten der 
groep, invariant blijven, en die elk hetzij worden 
getransformeerd volgens een eenledig continue, 
uniforme groep zonder dubbelpunten, hetzij invariant 
blijven. 

i8 



4". De volgorde der punten van het continuüm 
blijft bij alle transformaties onveranderd. 

5". De groep is buiten haar dubbelpunten afge- 
sloten. 

6^. Buiten de dubbelpunten l:unnen twee verschil- 
lende punten elkaar niet onbepaald naderen. 

7^. Een grenspunt van een puntrij gaat bij elke 
transformatie over in een grenspunt der getransfor- 
meerde puntrij. 

8**. Op een segment tusschen twee dubbelpunten, 
dat niet invariant blijft, bepaalt de groep een overal 
dichte schaal. 

9". De groep is commutatief. 

io<'. De groepparameter is meetbaar. 

Zoodat we de opteloperatiegroep op het open continuüm, 
die we hadden gekarakteriseerd als eenledig continue, 
uniforme, afgesloten groep op het meetbaar continuüm, 
nu ruimer kunnen karakteriseeren als eenledig con- 
tinue, uniforme groep op het meetbaar continuüm, 
voorzoover binnen het domein tusschen twee van haar 
dubbelpunten. — Men kan vervolgens die dubbelpun- 
ten als eindpunten van het domein van de groep samen- 
vallend denken, en heeft dan de opteloperatie op het 
gesloten continuüm; het sluitpunt, door samenvalling 
van de beide begrenzende punten ontstaan, heet 
het oneindigheidspunt van de groep. (Om de transfor- 
maties der groep te kunnen afbeelden op de punten 
van haar domein, hebben we nog een tweede bij- 
zonder punt ingevoerd, dat echter niet, zooals het 

19 



oneindigheidspunt, binnen de groep zelf een bijzon- 
dere rol speelt, n.1. het nulpunt.) 

Op een eenmaal gegeven schaal kan een wille- 
keurige eenledig continue, uniforme groep zeer inge- 
wikkeld gegeven zijn, maar op haar eigen schaal, 
zooals -we. die boven uit de groep construeerden, 
wordt ze op elk door twee opvolgende dubbelpunten 
begrensd segment voorgesteld door de groep der 
opteloperaties. Beschouwen we b. v. op een een- 
maal gegeven schaal de vermenigvuldigingsgroep ') ; 
zij heeft het punt o tot dubbelpunt, heeft dus twee 
gescheiden domeinen, n.1. tusschen — <>o en o, en 
tusschen o en -|- oo; haar eigen schaal dekt zich 
op het laatste domein met de schaal van log X; 
op het eerste met die van log ( — x) ; op haar eigen 
schaal is de groep in beide domeinen de optelgroep . 
Groepdefinitie Wc Stellen ous thans voor, het meest algemeene 
der vermenig- g^gj ^^j^ twcc eeulcdig continuc, uniformc groepen 

vuidiging op het '-' . 

continmini. op het meetbaar continuüm te vinden, die zich laten 
combineeren tot een tweeledig continue ') groep, en 
die tweeledige groep op een bijzondere, er bij pas- 
sende^schaal, zoo eenvoudig mogelijk voor te stellen. 
Vooreerst merken we op, dat we, hoe de dubbel- 
punten der beide componeerende eenledige groepen 
ook verdeeld zijn, in elk geval het geheele conti - 



*) d. i. de K^oep der operaties van vermenigvuldiging met een 
positief getal. 

*) d. w. z. waarvan de verschillende transformaties door twee 
continue parameters bepaald zijn. 

20 



nuum kunnen verdeelen in segmenten, begrensd 
door twee dubbelpunten van een der groepen met 
daartusschen liggend óf één óf geen enkel dubbel- 
punt der andere groep, en we gaan de constructie 
der tweeledige groep binnen elk dier segmenten 
afzonderlijk na ; de algemeene tweeledige groep 
V)estaat dan uit een iuxtapositie van zulke segmenten, 
elk met een tweeledige groep van de gevonden 
constructie. Als schaal op het segment kiezen we 
de schaal van de eenledige groep, die de begrenzende 
punten van het segment als dubbelpunten heeft ; in 
die schaal wordt die groep dan de volledige optelope- 
ratiegroep, wier domein ten opzichte van een wille- 
keurige eenheid van de schaal zich uitstrekt van 
— oD tot -j- oo. Zetten we dat domein als X-as 
uit, en zetten we als ordinaten uit de toenamen van 
de bijbehoorende abscissen door een willekeurige 
transformatie der tweede groep, dan wordt de tweede 
groep voorgesteld door een systeem van kromme lijnen, 
die, afgezien van een eventueel gemeenschappelijk 
snijpunt met de X-as (het eventueele dubbelpunt der 
tweede groep n. 1.) geheel buiten elkaar liggen. 
De vergelijkingen dier kromme lijnen stellen we 
voor door : 

en de eisch, die we gesteld hebben, komt hierop 
neer, dat een willekeurige serie van transformaties, 
elk uit een der beide groepen, is te vervangen door 

21 



een enkele transformatie der tweede groep, gevolgd 
door een enkele transformatie der eerste groep, dus 
is voor te stellen door : 

X = X -f f« (X) + (3. 

We nemen een willekeurig punt op de X-as als 
oorsprong, en denken het geval, dat de gezochte 
groep geen dubbelpunt heeft, dus de krommen 
y ==: f^ (x) buiten elkander liggen. Kiest men den groep- 
parameter « zoodanig, dat dekrommey = fa(x)deY-as 
in een punt met ordinaat « snijdt, dan gaat de kromme 
y =r fjjCx) — X door den oorsprong. Nu weten we, dat 
het resultaat van de opvolging van twee transformaties 
met de toenamefuncties i' (x) — 7 en fj (x) — 5 is 
een transformatie met een toenamefunctie iy (x) -\- «r, 
die echter o moet worden voor x = o, dus slechts zijn 
kan: f^(x) — ^. 

M. a. w. de transformaties x' =: x -|- 1^ (x) — at vor- 
men een eenledig continue groep, die, zoo goed 
als de door x' nr x -f- f^ (x) voorgestelde, uniform is, 
en die verder zich met x' =: x -j- « tot dezelfde twee- 
ledige groep laat combineeren, als x'=:x4- f^C'^)- ^^ 
groep x'=x-i-f^(x) — X heeft nu echter een dubbel- 
punt. Het geval, dat de tweede groep geen dubbel- 
punt heeft tusschen twee opvolgende dubbelpunten 
der eerste groep, is dus hiermee teruggebracht toi 
het geval, dat zij er één heeft, en met dit laatste 
geval hebben we ons nog alleen bezig te houden. 

22 



Het dubbelpunt op de X-as kiezen we als ooi- 
sprong ; de toenamefuncties y=:f^(x) snijden nu 
elkaar in O, en hebben verder geen punt gemeen. 
Ons doel is, te bewijzen, dat die toenamefuncties 
differentieerbaar zijn. 

Stellen we door n0j\,{^) voor de ordinaattoenameder 
kromme yr=f^(x)tusschen de abscissenxen x-j-A. Daar 
f«(x) continu is, is «^/^(x) het ook. Denken we ons, 
dat ^<J)^ (x) gelijke waarden zou krijgen voor twee 
verschillende waarden van x, stel x^ en x^ -f P 

Dan zouden in het S3'steem, bestaande uit de 
kronmien y =r f^^ (x) -f- (3 en y ::=: fjj (x -f- p) twee krommen 
voorkomen, die elkander snijden voor x^x, en 
x:=x, 4"^, dus in het s^'steem, bestaande uit de 
krommen y z=z {^{x -^ x^) -\- fi en y =r f^ (x -f- x, -}- P) twee 
krommen, die elkaar snijden voor x=:o en x=:A. 
Maar dit systeem is bevat in de krommenschaar 
yzz: f^(x)4- /3 ; en daarin kunnen twee krommen, die 
elkaar snijden voor xrzro, elkaar niet nog eens snijden, 
tenzij — ze dezelfde kromme zijn. Maar dat zou voor 
de oorspronkelijk beschouwde kromme y rr f^^j (x) be- 
teekenen, dat ze van af xzrx, en van af x = x, -f- peen 
homothetisch beloop zou moeten hebben, m. a. w. 
dat ze een periodiek-homothetisch beloop zou 
moeten hebben met periode p. Dan hebben we 
echter: ^^pix, -{-k):= a<^p(x,), voor een willekeurige 
waarde van k, en hieruit volgt op dezelfde wijze, 
als uit «4>a(^i +P)= «^a('^i) het periodiek-homothe- 

23 



tisch beloop met periode p, nu het periodiek-homo - 
thetisch beloop met periode k. Maar als y = f^(x) een 
periodiek-horaothetisch beloop voor élke willekeurige 
periode heeft, kan dit niet anders, of y = f^(x) is een 
rechte lijn, dus zeker een differentieerbare kromme. 
Is zij geen rechte lijn, dan weten we nu zeker, 
dat x^A (x) niet tweemaal dezelfde waarde' kan 
krijgen. Ze moet dus voor een bepaalde a en A óf 
steeds stijgen óf steeds dalen, en het is direct in 
te zien, dat zij voor gegeven a. óf voor alle a 's 
stijgt, óf voor alle a 's daalt. (Immers stijgt ze 
voor A, dan ook voor ^3 a, ' 4 a enz.; en ook voor 2 a. 
3 A enz.) Denken we nu het differentiequotient van 
f« (ï) gegeven tusschen de abscissen o en a, a en 2 a, 
2 A en 3 A enz., als jZ, gZ, :jZ enz.; dan die tusschen 
o en ' ., A. ' ^; A en a, a en l\,'2 A enz,, als ^Zq, ^Z^, 
2Z0, enz.; dan tusschen o en ^u a, Vi ^ ^^ 'A; ^' V2 A 
en "/4 A enz., als jZy^,, iZqi, iZjo» 1^11» 2Z00 enz. ; 
we krijgen zoo ten slotte een onbepaald aantal indices 
achter de Z, en we weten dat als ^Zp en aZq een gelijk 
aantal indices hebben, en het eindpunt van het inter- 
val van aZp is het beginpunt van dat van ^Zq dat dan 
aZq , aZqc, aZqoo ^nz. afncmcu, maar blijven boven 
aZp; evenzoo, dat aZp , a^pi, a^pn, a^pui enz. toe- 
nemen, maar blijven beneden aZ^, . De eerste reeks 
heeft dus een onderste, de laatste een bovenste grens, 
waartoe ten slotte onbepaald wordt genaderd . Hiermee 
is het bestaan van een differentiaalquotient voor een 
willekeurig punt van y r= f^ (x) aangetoond, maar nog 

24 



niet bewezen is, dat het voorwaartsche en het achter- 
waartsche diflferentiaalquotient niet zouden kunnen 
verschillen. 

Dat is voor ons doel evenwel niet noodig, want de 
diflerentieerbaarheid zonder meer veroorlooft, voor 
ons probleem, d.i. het zoeken van de meest algemeene 
tweeledig continue, uniforme groep, toe te passen de 
grondformule van Lm ^), die voor een tweeledige 
differentieerbare groep wordt : 

<Pid<P: — <P.A(Pi = C|0j + C2<P.., 

waarin <Pi en 02 toenamen door zeer kleine transfor- 
maties uit de beide componeerende eenledige groepen 
voorstellen. Zij vooreerst Co = o, zoodat we hebben: 

4>,d4>2 — (p^d<p, = c,0, (i) 

Bepalen we de punten van het continuüm tusschen 
twee opvolgende dubbelpunten van de groep 4>i 
door een coördinaat x, gemeten op de schaal van 
(p^, dan kunnen we schrijven : 

4>, - fp 

en in (p- komt de differentiaalvergelijking : 

dx ' 



'3 cf. Math. Ann. Bd. 8, pag. 303; Gött. Nachr. 1874: Theorie 
der Tr.insformationsffruppen 1, pag. 150. 

25 



waarbij als eindige groep met c als groepparameter 
komt : 

(x' + h) = c (X 4- h), 

en de gecombineerde tweeledige groep wordt : 

x' := c,x -)- c.,. 

Zoo hebben we hier de eenledige groep tot een 
tweeledige gecompleteerd, door haar als optelgroep 
van een schaal te nemen, en dan als tweeledige 
groep te nemen die van optelling en vermenig- 
vuldiging, op die schaal gecombineerd. En als 
tweede eenledige groep, die zich met de eerste 
laat samenstellen, is hier verkregen de vermenigvuldi- 
gingsgroep uit die schaal met een willekeurig nulpunt . 

Zij vervolgens c„ niet o, dan kunnen we c, 4), H-c,*^., = 0i 
stellen, en vinden tusschen (pt en (p.^ de betrekking : 

(p^d(ps — 4>3d0, = c,4>j (2) 

of als we weer werken op de schaal van (p, •■ 

^^■' 1 /*. ^ kx ^ kx I 

^ = kcp3 ; 0,t = st ; <p, =: e,e -f s.,. 

Door de transformatie <^.^ ondergaat dus x een 
toename : 

dx =: e,e -h f-i, 

kx 1 

en e ondergaat een toename : 

a6 



zoodat, als wee ^| stellen, en in de schaal der 
verschuivingsgroep van ^ gaan werken : 
óf 0, (I) = u(H-h h) óf 0, (^) = .5. 

hetgeen als eindige groep geeft : 

óf ^' + h r:^ C (^ + h) of r = ^ + C. 

De oorspronkelijk gegeven eenledige groep wordt 
in de schaal van è : 

r = cl 

en de gecombineerde tweeledige groep wordt : 

We hadden ook uit vergelijking (2) direct kunnen 
aflezen, dat, als we gaan werken op de schaal van 
<Px we voor <Pi vinden een vermenigvuldigingsgroep, 
dus voor <p: een der groepen : 

(x' + h) = c(x + h). 

Zoo hebben we hier de eenledige groep tot een 
tweeledige gecompleteerd, door haar als ,, vermenig- 
vuldigingsgroep tusschen de punten o en ^xj" van 
een schaal te nemen (d. w. z. te nemen de schaal 

van e~ , als x is de schaal van de groep als 
optelgroep ^)) en dan als tweeledige groep te nemen 



^) Eigenlijk krijgen we de „vermenigvuldigingsgroep tusschen 
o en cc" alleen voor negatieve k; voor positieve k vinden we 
^ =■ 00 voor x = — r>;^ ; daar we hier verder, om de schaal met 

X toenemend te houden, liever spreken van de schaal van — e""*^, 

dan van e ^^, krijgen we hier onze oorspronkelijke groep als 
,, vermenigvuldigingsgroep tusschen — ■>- en o. " 

27 



die van optelling en vermenigvuldiging op die schaal 
gecombineerd. De completeerende eenledige groep 
is óf de optelgroep op die schaal óf de vermenig- 
vuldigingsgroep met een ander nulpunt( d.i. dubbel- 
punt), als de eerste groep. De completeering kan, 
al naar de waarde van k, op verschillende wijze 
plaats hebben ; bij elke verschillende completeering 
hoort een verschillende schaal, die de rol van 
optelgroep in de tweeledige groep vervult, en door 
die keuze van schaal der optelgroep is de wijze 
van completeering bepaald. De gekozen optelgroep 
is ook de eenig mogelijke, ten opzichte waarvan 
beide componeerende eenledige groepen, dus ook 
de resulteerende tweeledige groep de rol van gelijk- 
vormige ^) transformatiegroepen vervullen ; de twee- 
ledige groep in 't bijzonder is ten opzichte van die 
schaal de groep van alle gelijkvormige transfor- 
maties, en door de tweeledige groep als groep der 
gelijkvormige transformaties is de schaal over het 
geheele beschouwde domein bepaald. 

Verder hebben we gemerkt, dat hier één der 
begrenzende dubbelpunten van de oorspronkelijke 
eenledige groep dubbelpunt blijft voor de tweeledige, 
maar het andere niet ; de completeerende eenledige 
groep heeft binnen het domein der oorspronkelijke 
één of geen dubbelpunt. 



*) Hieronder verstaan we in het volgende: en met invariante 
verhoi>dingen, èn steeds gelijk gericht. 

28 



Beschouwen we nu weer de beide eenledige groepen, 
die zich tot een tweeledige laten combineeren, zooals 
we ze ons oorspronkelijk uitgestrekt dachten over 
het geheele continuüm ; noemen we Pa de dubbelpun- 
ten voor beide groepen dus ook voor de uit beide 
samengestelde tweeledige groep ; Q« die voor de 
eerste; Ra die voor de tweede. Dan worden elke 
twee punten Q, en evenzoo elke twee punten R 
gescheiden door minstens één punt P ; m. a. w. 
tusschen twee punten P kan hoogstens één punt Q 
en één punt R liggen. 

We beschouwen nu het domein lusschen twee 
opvolgende punten P, stel P^ en Pg ; en denken 
daartusschen een punt Q en een punt R. 

Pi- Q- R. Po. 

Passen we dan onze laatste resultaten voor 
het domein tusschen twee opvolgende dubbel- 
])unten van eenzelfde der beide componeerende 
groepen achtereenvolgens toe voor het domein QP.. 
en het domein PiR, dan weten we: 

Tusschen Q en Pg bestaat een schaal, in Q be- 
grensd ^), maar naar P^ toe onbegrensd ; de eerste 
componeerende eenledige groep bestaat uit de gelijk- 
vormige transformaties van die schaal met Q als in- 
variant punt ; de tweede uit de gelijkvormige trans- 
formaties met R als invariant punt ; de resulteerende 

*) We noemen ter bekorting een schaal in een punt begrensd, 
als dat punt volgens de op die schaal gebouwde verschuivings- 
groep bereikbaar is. 

29 



tweeledige groep uit alle gelijkvormige transfor- 
maties. Het gedeelte van die schaal .tusschen Q en 
R is de eenig mogelijke schaal tusschen Q en R, ten 
opzichte waarvan de tweeledige groep de rol eener 
gelijkvormige groep speelt, 

Tusschen Pj en R bestaat eveneens een schaal, 
in R begrensd, maar naar P^ toe onbegrensd; de 
eerste componeerende eenledige groep bestaat uit de 
gelijkvormige transformaties van die schaal met Q als 
invariant punt ; de tweede uit de gelijkvormige transfor- 
maties met R als invariant punt ; de resulteerende twee- 
ledige groep uit alle gelijkvormige transformaties. 
Het gedeelte van die schaal tusschen Q en R is de 
eenig mogelijke schaal tusschen Q en R. ten opzichte 
waarvan de tweeledige groep de rol eener gelijk- 
vormige groep speelt. Het gedeelte van deze schaal 
tusschen Q en R is dus identiek met het gedeelte 
tusschen Q en R van de vorige schaal ; we kunnen 
dus nu zeggen : 

Tusschen P^ en Po bestaat een schaal, naar beide 
zijden onbegrensd ; de eerste componeerende een- 
ledige groep bestaat uit de gelijkvormige trans- 
formaties met Q als invariant punt (vermenigvuldig- 
groep met Q als nulpunt) ; de tweede uit de gelijk- 
vormige transformaties met R als invariant punt 
(vermenigvuldiggroep met R als nulpunt). De resul- 
teerende tweeledige groep is de gelijkvormige groep 
(of groep van optelling en vermenigvuldiging gecom- 
bineerd). 

3o 



Gesteld nu, er ligt tusschen P, en Pg alleen een 
punt R, geen punt Q ; dit komt alleen voor bij 
onze eerste manier van completeering eener eenledige 
groep tot een tweeledige, waar we n.1. de eerste een- 
ledige groep tusschen twee opeenvolgende van haar 
dubbelpunten als optelgroep nemen, en als tweede 
kiezen de vermenigvuldiggroep met willekeurig nul- 
punt ; de tweeledige groep wordt weer tusschen 
P^ en Po op de geconstrueerde schaal de gelijk- 
vormige groep. 

Dat er ten slotte tusschen P, en Po nóch een 

1 *' 

punt Q, nóch een punt R zou liggen, is onmogelijk; 
want we hebben gezien, dat we niet aan een een- 
iedige groep tusschen twee opeenvolgende van haar 
dubbelpunten een andere eenledige groep kunnen 
toevoegen, die met de eerste samen een tweeledige 
groep geeft, de beide genoemde dubbelpunten be- 
houdt, en daartusschen niet nog een nieuw dubbel- 
punt zou bezitten. 

We hebben nu omtrent twee eenledig continue, 
uniforme groepen op het open meetbaar continuüm, 
die zich laten vereenigen tot een tweeledige groep, 
het volgende afgeleid : 

Op het meetbaar continuüm is een eindige of 
oneindige reeks van aan elkaar grenzende eindige 
segmenten bepaald, wier scheidingspunten invariant 
bhjven bij de tweeledige groep, en dubbelpunten der 
tweeledige groep worden genoemd. Op elk der zoo 
bepaalde segmenten is vervolgens een naar beide 

3i 



zijden onbegrensde overal dichte schaal te constru- 
eeren, zoodanig dat elk der componeerende eenledige 
groepen in elk der segmenten een der volgende 
rollen speelt : 

óf ze laat het segment invariant ; 

óf ze speelt er de rol van optelgroep ; 

óf ze speelt er de rol van vermenigvuldiggroep 
met willekeurig nulpunt. 

Dezelfde eenledige groep zal inde verschillende seg- 
menten in 't algemeen een verschillende rol vervullen . 

De resulteerende tweeledige groep speelt in 't alge- 
meen binnen alle segmenten de rol van gelijkvormige 
groep; maar er kunnen bijzondere segmenten zijn, 
waar ze zich reduceert tot een eenledige groep (die 
dan als optelgroep kan worden gelezen) of zelfs, 
die ze invariant laat. 

Op een eenmaal gegeven schaal kan een wille- 
keurige tweeledig continue, uniforme groep zeer 
ingewikkeld gegeven zijn, maar op haar eigen schaal, 
zooals die steeds uit de groep te construeeren is. 
wordt ze op elk door twee opeenvolgende van haar 
dubbelpunten begrensd segment voorgesteld door 
de groep der optel- en vermenigvuldigtransformaties . 

Het doel der voorafgaande ontwikkelingen was, 
nu de optel- en vermenigvuldigoperaties op het 
volledig meetbaar continuüm aldus te definieeren 
(onder vermenigvuldiging alleen die met een positie- 
ven vermenigvuldiger verstaande) : 

opteloperatie op het volledig meetbaar continuüm: 

32 



Eenledig continue, uniforme groep op het meet- 
baar continuüm tusschen twee opeenvolgende van 
haar dubbelpunten. 

Vermenigvuldigoperatic op het volledig meetbaar 
continuiwi : 

Eenledig continue, uniforme groep tusschen de- 
zelfde dubbelpunten als de vorige, en zich met haar 
tot een tw^eeledige groep latende combineeren. 

We kunnen ook beginnen met de combinatie van 
optelling en vermenigvuldiging te definieeren als 
de tweeledig continue, uniforme groep op het meet- 
baar continuüm tusschen twee opeenvolgende van 
haar dubbelpunten ; daarna de optelling hetzij als 
de eenige eenledige ondergroep, die binnen dat 
domein geen verder dubbelpunt heeft, hetzij als de 
eenige invariante ondergroep; en de vermenigvul- 
diging als een willekeurige andere eenledige onder- 
groep. 1) 

Deze groepdefinitie der rekenoperaties op het overtollig be- 
meetbaar continuüm toont aan, dat bii de axioma- standdeei in de 

. . ■' . . distributieve ei- 

tische definitie dier operaties, als de associatieve genschap. 
en commutatieve eigenschap van optelling en ver- 
menigvuldiging zijn gegeven, niet meer de volle 
distributieve eigenschap noodig is, om de operaties 

*) Op het gesloten continuüm kunnen we de beide begrenzende 
dubbelpunten laten samenvallen ; de groep der hoofdbewerkingen 
kan dus ook worden gelezen in de algemeene tweeledig con 
tinue, uniforme groep op het gesloten meetbaar continuüm met 
één enkel dubbelpunt. 

, 33 



De teckenoiii- 
keering en de 
vermenigvuldi- 
ging met een 
negatieven fac 
tor. 



Het nemen 
derreciprokeen 
de projectieve 
Sroep. 



geheel te bepalen. Immers stellen we de optelope- 
ratie voor door f«, de vermenigvuldigoperatie door 
4>^ , dan zegt de distributieve eigenschap : 

terwijl we hebben aangetoond, dat voldoende is de 
voorwaarde : 

Voegen we thans toe de transformatie x' = — x, 
dan zien we, dat zij zich met de optelgroep asso- 
cieeren laat ; het resultaat blijft een eenledige uniforme 
groep, maar met een discontinuiteit in den groep- 
parameter. Evenzoo met de vermenigvuldiggroep laat 
zij zich associeeren tot een vermenigvuldiggroep 
met positieven of negatieven vermenigvuldiger, 
eveneens een uniforme eenledige groep met een 
discontinuiteit ; en ten slotte laat zich ook de 
gecombineerde tweeledige groep door haar over 
een discontinuiteit ^) verdubbelen. 

Voegen we toe de transformatie x' = ; zij laat 

zich met de volledige vermenigvuldiggroep associ- 
eeren tot een uniforme eenledige groep, onder 
invoering van een nieuwe discontinuiteit ; en met 
de volledige tweeledige gelijkvormige groep tot een 
uniforme drieledig continue groep, de zoogenaamde 



') Dat wil zeggen hier voor een tweeledige groep : een coupure 
in het parametervlak. 

34 



a X + b 
projectieve groep ^ der transformaties x = -.— -j. ) 

LiE heeft bewezen voor differentieerbare trans- 
formaties, dat er maar één constructie voor een 
drieledig continue groep op het meetbaar continuüm 
bestaat, nameHjk de projectieve groep. Onafhankelijk 
van de differentieerbaarheid is boven aangetoond, 
dat er maar één constructie voor één- resp. tweeledig 
continue, uniforme groepen bestaat ; zich ook voor 
de drieledige groep van de beperking der differen- 
tieerbaarheid los te maken, blijve hier als probleem 
gesteld. ') 

Om de projectieve meetkunde op te bouwen, De projectieve 
nemen we n -|- 1 open continua, elk met een trans- '"^e*'^'""*^ 
latiegroep en een nulpunt ; (op elk is dan tevens 
een vermenigvuldiggroep bepaald). We kunnen 
die n -|- 1 translatiegroepen met nulpunten alle 
of gedeeltelijk op elkaar afbeelden ; elk continuüm, 



') Ook deze drieledige groep heeft een coupure in de para- 
meterruimte, nl. die de met een bepaalde uitgekozene gelijk 
gerichte van de tegengesteld gerichte transformaties scheidt. 

*) Denken we de projectieve groep op het gesloten continuüm, 
en houden we een willekeurig punt vast, dan is duidelijk, dat we 
een tweeledige groep overhouden met dat punt als eenig dubbel - 
punt; die groep is dus te lezen als een groep van Jioofdbewerkifigen ; 
vgl. het ,,Rechnen mit projectiven Strecken" van SCHUR (Math. 
Ann. 55) en evenzoo de ,,Endenrechnung" van HiLBERT (Math. 
Ann. 57). 

35 



dat aan de afbeelding deelneemt, kan dat nog in 
twee richtingen. Het agglomeraat van die groepen, 
zooals ze in de afbeelding optreden, noemen we 
een punt P; in het agglomeraat kan ook meermalen 
dezelfde groep voorkomen, dan kunnen we die ver- 
schillende afbeeldingen sommeeren tot een nieuwe 
afbeelding, waarbij de overeenkomstige punten der 
componenten door hun som zijn vervangen ; de 
groepen van verschillende continua zijn echter in 
de som niet te vereenigen. 

De groepen van een willekeurig gekozen punt 
kunnen elk door een vermenigvuldigoperatie worden 
overgevoerd in die van een willekeurig ander punt, 
en bij die vermenigvuldigingen is alleen de verhouding 
der factoren bepaald. Nemen we het eerste punt als 
zgn. fundamentaalpunt, dan is een willekeurig ander 
punt door die verhoudingsgetallen, zijn „coördinaten" , 
bepaald. We zien hier dat een punt niet op zichzelf, 
doch eerst in vergelijking met een tweede punt, 
door coördinaten, d. w. z. getallen van één geschaald 
continuüm, kan worden aangegeven. 

Daar de verschillende groepen van eenzelfde puni 
samen van één parameter afhangen, kunnen we in 
elk punt ook een enkele translatiegroep met nulpunt 
zien. En we kunnen de translatiegroepen van twee, 
drie .... n -j- i punten op elkaar afbeelden, en de 
som der afgebeelde groepen nemen ; die som zal steeds 
weer een der boven gedefinieerde punten P geven. De 
punten, op deze wijze afgeleid uit de afbeelding van 

36 



twee punten A, en A.^ op elkaar, heeten te liggen 
op de rechte lijn (A^ A ^)\ die, afgeleid uit de afbeel- 
ding van p -j- 1 punten A,, . . . ., A,, + , op elkaar, 

heeten te liggen in de platte ^ruimte (A, A^ 

Ap -t- i). We zien, dat als A, ligt in (A, A3. . . . 

Aq), dan ook A.^ in (A, A3 A^) enz., en dat 

in de coördinaten de platte ruimten door stelsels 
homogene lineaire vergelijkingen worden voorgesteld. 
Verder is te bewijzen, dat, als A ',,... . A'p+i 

punten zijn van de platte ''ruimte (A, A 

Ap ^ 1), die niet in een f'~^ruimte liggen, elk 
punt van de ''ruimte is af te leiden uit de punten 
A', zoo goed als uit de punten A; evenzoo, dat een 
'^ ruimte en een "iruimte in een '' + -'ruimte één punt, óf 
een rechte lijn óf een *ruimte, enz. gemeen hebben. 
Beschouwen we een ''ruimte, nemen we daarin als 
basispunten A ; B, ;....; Bp en noemen we de over- 
eenkomstige coördinaten «, P,_ . . . ., Pp . Zijn Fi; . . .; 
Fj, punten op (AB,); (AB.) . . . . ; (ABp); zijn G, en 
Gj punten in (Bj .... Bp) en C, en C^ de snijpunten 
van AGj en AGj met (F, . . . . Fp). Stel nu we 
krijgen G2 uit Gi door de coördinaten Pj, . . . , Pj, 
van G| te vermenigvuldigen met hj, . . . , hp. Dan 
j^eldt hetzelfde voor Co en Ci, want die hebben de- 
zelfde coördinaten Pj, . . . , ?^, als Gj en Gi . Gaan 
we nu evenwel Cg en C| bepalen ten opzichte van 
A ; F| ; . . . . ; Fp, en stel we moeten de coördinaten 

^1 , , 0p van Cl naar C2 met factoren h'^ . . . h'p 

vermenigvuldigen. Dan hebben we: 

37 



C, = <p<K^{B, +a, A)4-. . . + 4)pKp(Bp+ apA) = 

= 0, )c, Bi + . . .+ 4'„ «p Bp + s 4>j «1 a,. A. 

C2=hi'0, «, B,-f...h;4)pXpBp4.2hi'4', x.ai.A. 

Maar de coëfficiënten van A, Bj, . . ., Bp in deze 
formules zijn de coördinaten «, p,,..., ^p in het oor- 
spronkelijke stelsel; we zien dus, dat de h"s de- 
zelfde zijn als de h's. Dus zijn de relatieve coördi- 
naten van punten in eenzelfde Pruimte projectief 
gebleken, in het bijzonder dus de dubbelverhouding 
van 4 collineaire punten. 

De verdere opbouw der projectieve meetkunde, 
in de eerste plaats de constructie der tweedegraads- 
ruimten, levert na deze principieele gegevens geen 
moeilijkheden meer. 
De cartesi- De Cartesiaansche meetkunde kan worden opge- 
Minsche meet- bouwd, door n open continua te nemen, en onder 
een punt van °R te verstaan de combmatie van n 
punten dier verschillende continua. Zulk een punt 
van °R is te definieeren door n coördinaten, d.w.z. 
getallen van één geschaald continuüm, als we op 
elk der n gegeven continua een naar beide zijden 
onbegrensde schaal (dus een translatiegroep) en een 
De Euclidische cenheids-segmeut aannemen. De Cartesiaansche 
«eetkunde. meetkunde wordt verder tot een Euclidische meet- 
kunde, als we nog als ,, afstand" van twee punten 
definieeren [/ £ (x," — x/)». 

Men merkt dan op, dat de transformatiegroep 

X, — ,«, X, -f- ,a, X, -f ,«nXD-hPi 

enz. 
38 



voor 



p«fi 



i«.i 



o den afstand van 



^ pa' = 1 en ^ 

elke twee punten onveranderd laat, en dat omgekeerd 
door dat invariant blijven van |/s(x/' — x/)* die 
groep bepaald is. Men noemt ze de Euclidische 
congruente groep van "R. Schrijft men in de 
eerste leden der transformatievergelijking c X^, 
c X2 enz. in plaats van Xj, Xg enz., dan krijgt men 
de groep der gelijkvormige transformaties, waarbij 
alle afstanden steeds in dezelfde reden vergroot ol 
verkleind worden. 

In 'R wordt de ondergroep der gelijkvormige 
transformaties met positieven substitutiemodulus: 



x„ 



ax, — b Xg + d, 



'1 
bx 



N + a X, + d,, 
die we detinieeren als de j, groep der complexe bewer- 
kingen'", na onder een imaginair getal x^ + Xj i een 
punt van ^R met coördinaten x, en x^ te hebben 
verstaan. De bovenstaande transformatie wordt dan 
gelezen: 

X, + X.3 i =r (a + bi) (x, + x.^ i) 4-(d, +d^ i), 
of I = « X -|- J, 

als we hier de letters imaginaire getallen laten voor- 
stellen. Zoo is de tweedimensionale schaal der 
imaginaire getallen aan een groep van optelling en 
vermenigvuldiging onderworpen, even goed als vroeger 
de eendimensionale schaal. Maar de eerste biedt 
het voordeel van grootere algemeengeldigheid der 
algebraïsche bewerkingen ; zoo in de eerste plaats is 



De gelijkvor- 
mige groep. 



De groep der 
complexe be- 
werkingen. 



39 



hier uit elk punt elk ander door machts verheffing te 
krijgen; daarom bouwt men zoowel de projectieve, 
als de Cartesiaansche 'ruimte dikwijls op uit n + 1 
resp. n complexe schalen in plaats van, zooals 
boven, uit reëele schalen. 

Men kan verder de Cartesiaansche "ruimte com- 
pleteeren tot den samenhang van een projectieve 
"ruimte, door er op de bekende wijze een ,, ""'ruimte 
in het oneindige" aan toe te voegen. Dit heeft 
natuurlijk een geheel willekeurig karakter ; men kan 
even goed een bol in het oneindige toevoegen, wat 
in de potentiaaltheorie soms zijn nut heeft, of ook 
een enkel punt in het oneindige en zoo de Carte- 
Projectieve siaansche ruimte tot een tweezijdig gesloten ruimte 
definitie van de j^aken. Doen we het laatste in het bijzonder voor 
piexebewerkin- een plat vlak, dan kunnen we het daarna zoo op 
8^"- een ovaal tweedegraadsoppervlak in de gewone ruimte 

afbeelden, dat de groep der complexe bewerkingen 
verschijnt als groep der projectieve transformaties van 
de ruimte, die het tweedegraadsoppervlak met omloopszin 
en bovendien een punt daarop (n.1. het aan het ,,punt 
in 't oneindige" van het Euclidische vlak beantwoor- 
dende) invariant laten. Op deze wijze is dus de groep 
der complexe bewerkingen te definieeren onafhan- 
kelijk van de Euclidische bewegingsgroep. ^) 



') Bij deze definitie van een stel bewerkingen als een groep 
(die ook is door te voeren voor quaternionen en hoogere com- 
plexen> komt de afbeelding van het paranietercontinuum op het 

40 



De groep der complexe bewerkingen, gelezen op Groep der 
een ovaal tweedegraadsoppervlak, laat zich verder '^•^"'p'^*^ p^*>- 

" • "^ _ ' jectieve trans- 

uitbreiden tot de algemeene projectieve transformatie- formaties. 
groep van dat tweedegraadsoppervlak met invarianten 
omloopszin ; beelden we deze weer terug op het Eucli- 
lische platte vlak, dan krijgen we de conforme trans- 
fortnatiegroep van het platte vlak met invariattten om- 
loopszin, ook te lezen als de projectieve transformatie- 
groep der complexe schaal. 



De groep der projectieve transformaties in een Karakterisce- 
"ruimte laat zich volgens LiE karakteriseeren, als ^"g der projec- 

. tieve groep. 

de eindige continue (d, w. z, door de contmue ver- 
andering van een eindig aantal parameters gegene- 
reerde) Liesche ^) groep, waarbij eerst n -\- 3 verschil- 
lende punten een invariant hebben. 

Zoeken we uit de projectieve groep die trans- De niet- eucü- 
formaties uit, die een tweedegraads-°~'ruimte ') ^^^^^^ groepen. 



getransformeerde continuüm zelf eerst als iets secundairs. Bij de 
gewone comple.xe bewerkingen voorkomt men door de groepdefinitie 
de noodzakelijkheid, een bepaald punt en een bepaalde lijn daar- 
door als nulpunt en lijn der reëele getallen een bijzondere rol te 
laten spelen. 

') LiE onderstelt hier en overal, dat zijn groepen door differenti- 
eerbare infinitesimaaltransformaties worden gegenereerd. Soms zelfs 
veronderstelt hij ze analytisch. In dit opzicht zijn zijn theorieën 
nog voor veel vervolkomening vatbaar. Vgl. pag. 51. 

f?) Wil men een " ~ 'ruimte invariant houden, en toch een 
projectieve groep van i n (n -t- i) (het aantal der Euclidische 
bewegingsgroep) parameters mogelijk laten, dan kan men voor 
die invariante ruimte niet anders nemen, dan een van den eersten 

41 



invariant laten, dan vinden we de zoogenaamde 
niet-Euclidische congruente groepen der '^ruimte. Voor 
twee punten blijft daarbij elke willekeurige functie 
van hun dubbelverhouding ten opzichte van de 
tweedegraads-'^~'ruimte invariant; als ,, afstand" kiest 
men die functie, die langs de rechte lijnen additief 
is, d.i. de logarithme, met een constante ver- 
menigvuldigd: de rechte lijnen blijken bij die keuze 
tevens geodetische lijnen te zijn; daar men geen lijnen, 
waarop de afstanden o worden, wil toelaten, blijven 
slechts 3 soorten van fundamentaal-"~^tweedegraads- 
oppervlakken, n.1. het algemeene ovale, dat in zijn 
binnenruimte aanleiding geeft tot de hyperbolische 
meetkunde, het algemeene imaginaire (met reëele 
vergelijking), dat aanleiding geeft tot de elliptische 
meetkunde, en als overgang tusschen beide het 
imaginaire ""-tweedegraadsoppervlak, dat aanleiding 
geeft tot de Euclidische meetkunde. Van deze drie 
laten de hyperbolische en de Euclidische groep zich 
afbeelden op de (niet gecompleteerde) Cartesiaansche 
ruimte, en als uniforme continue groepen hebben de 
Euclidische en de hyperbolische groep een disconti- 
nuïteit, die ze verdeelt in twee ondergroepen, die 
bewegingsgroepen worden genoemd. 

Op verschillende wijzen zijn de groepen der Euclf- 
tiiet boogeic- dische CU niet-Euclidische bewegingen samen te 



AffiadJng van 



of tweeden graad, zooals Lik heeft aangetoond. Theorie der 
Transformationsgruppen, III; in aansluiting aan een onderzoek: 
van Kt.kIN en LiE in Mathem. Annalen 4.) 

42 



karakteriseeren. Vooreerst kan men beginnen met in ment der eucii- 
't aleremeen te beschouwen een "ruimte, waar de '^'!f''':.'f." °***' 

" _ ' Euclidische 

afstand tusschen twee dicht bijeen gelegen punten groepen, 
is gedefinieerd als een steeds positieve uitdrukking 
van den vorm l/sfp,^(X| Xn)dXpdXf, met niet ver- 
dwijnende discriminant (de f's tweemaal difterentieer- 
bare functies), m.a.w. waar in het oneindig kleine 
de Euclidische meetkunde geldt, (wat b.v. voor 
gebogen ruimten, in hoogere Euclidische ruimten 
geplaatst, steeds het geval is). We willen dan bepalen 
een transformatiegroep, die de afstandselementen 
invariant laat, dus ook de geodetische lijnen in 
elkaar overvoert en stellen den eisch, dat ieder punt 
naar ieder ander punt kan worden verplaatst ; dat na 
vasthouding van een enkel punt Pi , een tweede punt 
P2 nog op een ,, geodetische "^"'bol" om Pi vrij be- 
wegelijk is, zóó, dat de geodetische °~^bollen om P| 
de ruimte geheel vullen ; dat na vasthouding van P2 
een derde punt P3, op die geodetische bol, vrij 
bewegelijk is op een "~'bol om P2 , welke ""'bollen 
om P2 de genoemde '"~*bol geheel overdekken, enz. 
We lossen dit vraagstuk eerst op voor een ^ruimte 
en nemen daarop als coördinaten de geodetische lijnen 
uit een punt M en de geodetische cirkels om M. Het 
boogelement ds moet dan wegens de vrije bewege- 
lijkheid om M worden van de vorm 1/ dr^ -j- f (r) ^ d0*. 
Daaruit vinden we de algemeene differentiaal- 
vergelijking der geodetische lijnen : 

f(r)2 



ds = d(J). 

c ^ 



43 



M 




Q 



N 



In de figuur zijn MQ, MP en NQ geodetische 
lijnen, PQ een geodetisch cirkelboogje om M, en 
de hoeken <P en ^ zeer klein, dus ook voor NQ c 
zeer klein. We stellen MN=r, ; MP = r^, en hebben: 






ds 



Verder : 






f(r)2 
PQ 



"■2 dr 
^^2 dr 



en hieruit: 



Daar nu het vlak om N gelijk gebouwd moet 
zijn als om M , zoo moet ook : 

PQ = 4'.f(ro— r,). 

Urf 

Hieruit, e zeer klein stellende: 

/-ri dr __ i{x,-é) 
J f(r)2- f(ri)f(*) - 



f(r2-ri)=f(ri).f(r2). / 



iH.) 



rr' 



44 



-f(f) iie)- f(ri) "^2f(f)- f(ri) 

Evenzoo 

,./ f(r)2"-l(.) f(.) f(ró) 2i{e) f(r,) 

Door aftrekking uit de beide laatste vergelijkingen: 

/-rz dr _ ^ iQ£il_^(l2l| _ 

j/ f(r)2 -f(f)- ' f(ri) f(r2) i - 

~ f(ri) f(r2) 

Maar ook 

^ro dr _f(r2-ri) 



^2 dr _ i(r2-ri) 
r/ f]r)»-f^ri)f(r2) 



Derhalve 

f(r2-rO = f'(rO f(r2) - f (r^) f(rO .1). 

Nu is f(e) — e -f- . . ., dus we weten 

f(o) = o. 

r(o)=l. 
Stellen we in (1) rizre, dan komt: 

i{X2)--er(T^) = {{T,J + e{"{o){{r.J-ei'{r,) (2). 

Dus f"(o) = o. 

Differentieeren we (1) naar r^, tot: 

f'(r,-ri)=r(ri) r(r,)-f"(ri) f(r,) (3). 

Stellen we hierin r^ = s, dan komt: 

f'(r,)-f"(r,)f = f'(o)f'(r,)-f 
■6 r{o)i' (r,) fvalt weg) — f "(o) f(r,) (valt weg) — e f' "(o) {{r^). 
r (r,) = f"(o) f(r,) (4V 

45 



I 



Stellen we {'"{o) i= a, dan hebben we dus in f de 
differentiaalvergelijking : 

^' ^ - f 

die drie groepen oplossingen bezit, al naar a positief, 
o, of negatief is, n.1. : 

(I) f=CjSin (ar + cj, 

of wegens f (o) =:: o en f' (o) = 1 : 

t=z— sm « r. 
a 

(H) t = Cl (r + c.,), 

of wegens f (o) rr o en f'(o)=r 1 : 
f = r. 
(III) f=:cish(«r + c,), 

of wegens f (o) = o en f '{(o) = 1 '• 

f = — sh « r. 

Alle drie oplossingen blijken aan (H) te voldoen. 
Willen we alleen singulariteitvrije oppervlakken, 
dan geeft (II) het gewone Euclidische platte vlak, 
(III) het hyperbolische vlak, en (I) hetzij een bol 
(bilateraal), hetzij een elliptisch vlak (unilateraal, 
van den samenhang van het projectieve vlak). 

Deze vier oppervlakken blijken dan achteraf, wer- 
kelijk den geëischten homogenen bouw te bezitten. 

Onderzoeken we thans de 'ruimten, die aan de voor- 
waarden van het vraagstuk voldoen, dan weten we, dat 
de geodetische bollen om een punt zelf vrij in zich 
bewegelijk moeten zijn, maar daar die bollen 1° eindig 
en 2° bilateraal zijn, kunnen van de vier boven geven- 

46 



den oppervlakken daarvoor niet anders dan gewont- 
bollen worden genomen. Zoeken w^edan, welke functie 
de boogelementen op die bol van den straal moeten 
zijn, dan vinden we eerst, dat de geodetische lijnen 
liggen in platte vlakken door M (hier gedefinieerd als 
oppervlakken, gevormd door de geodetische lijnen van 
M naar een grooten cirkel op een bol om M), en 
daaruit, dat weer slechts dezelfde drie functies als 
boven en dus alleen de vier daaruit op te bouwen 
^ruimten mogelijk zijn. 

Op dezelfde wijze als van 2 naar 3 gaat de 
overgang van 3 naar 4 afmetingen, enz. Voor elk 
aantal afmetingen bestaan slechts de vier bovenge- 
noemde ruimtetypen, m.a.w. transformatiegroepen. 

Van de beide groepen bij het boogelement I kunnen 
we een Cartesiaansche ruimte de bolvormige laten 
ondergaan, als we haar completeeren met een punt ; 
de elliptische, als we haar completeeren met een 
""^ruimte in 't oneindige. 

Deze karakteriseerende voorwaarden voor de groe- 
pen der Euclidische en der niet-Euclidische bewegin- 
gen zijn ongeveer de oorspronkelijk door Riemann i) 
er voor gegevene. Eenigszins willekeurig is vooreerst 
de aanname van het kwadratisch boogelement, en dan 
die van de differentieerbare coëfficiënten ervan. Lie'I 



') „Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde 
liegen", Gesammelte Werke, 1° Aufl. pag. 254. 

*) Theorie der Trarrsformationsgruppen III. Abt. IV. Kap. 17. 

47 



heeft de voorwaarden iets beperkt, door de Euclidische 
en niet-Euclidische bewegingen te karakteriseeren, 
als dié Liesche groepen, welke 1° een kwadratisch 
boogelement met niet verdwijnende determinant inva- 
riant laten, 2" door een vastgehouden punt de oo"-- 
richtingen zóó algemeen transformeeren, als wordt 
toegelaten door het invariant blijven van de verge- 
lijking, die het boogelement gelijk o stelt (en die 
natuurlijk een tweedegraadsruimte in den bundel der 
lijnelementen voorstelt.) Wordt de eerste voorwaarde 
vervangen door den eisch, dat de vergelijking, die 
het boogelement o stelt, invariant moet blijven, 
dan worden er nog bij gevonden: P de groep, 
bestaande uit Euclidische bewegingen en gelijk- 
vormigheidstransformaties, 2° die bestaande uit 
Euclidische bewegingen, gelijkvormigheidstransfor- 
maties en transformaties op wederkeerige voerstralen . 
(de conforme groep). 
Karakterisee- Helmholtz ^) heeft de karaktcrisccring willen 
ring der Eucii- losmakeu vau de aanname van het boogelement, en 

dische en niet- n i 

heeft gezocht m een "ruimte alle omkeerbare, 
continue groepen met ^ n (n -|- 1) parameters, wier 
transformatiefuncties een zeker aantal differentiaal - 
quotiënten (voor zoover hij ze n.1. bij zijn ont- 
wikkeling noodig heeft) toelaten, waarbij verder 
twee punten één enkele invariant, die voor elk 



Euclidische 
groepen door 
Helmhoi.tz. 



') „Ueber die Thatsachen, die der Geometrie zii (iiiinde liegen' 
(iött. Nachrichten 1868. 



48 



puntenpaar een werkelijke beperkende betrekking 
geeft, en meer dan twee punten geen nieuwe invariant 
hebben, en waarbij eindelijk die in varianten de eenige 
beperking in de vrijheid der beweging van de ver- 
schillende punten uitdrukken. ') 

Hij voegt ten slotte nog toe het zoogenaamde 
monodromie-posttdaat, dat eischt, dat bij vasthou- 
ding van n — 1 punten een n*^'' punt nog een /jmo^?^^^ 
baan kan beschrijven. 

Aan al deze voorwaarden bewijst hij dan, dat 
alleen de Euclidische en niet-Euclidische bewegin- 
gen voldoen. Lie heeft later ') echter aangetoond : 

P. Dat de redeneeringen van Helmholtz onge- 
oorloofd zijn, m.a.w. dat hij stilzwijgend nog meer 
voorwaarden invoert. Deze komen hierop neer, dat 
hij uit het vervuld zijn van zijn voorwaarden voor 
eindig van elkaar verwijderde puntenparen besluit 
tot een analoog gedrag voor puntenparen, die 
oneindig dicht bij elkaar liggen ; Lie toont door 
voorbeelden aan, dat die gevolgtrekking ongeoor- 
loofd is ten opzichte van èn den invariant van 



Verbetering der 

karakterisee- 
ring van Helm- 
holtz door Lie. 



') Lie heeft (Theorie des Transformationsgruppen III, pag. 487 
en 505) opgemerkt, dat het bestaan van een „afstand" (d.w.z. een 
invariant) tusschen twee eindig van elkaar verwijderde punten en 
het bestaan van een invariant boogelement (dus van een invariante 
,, lengte" voor alle kromme lijnen) twee wederkeerig van elkaar 
onafhankelijke voorwaarden zijn. 

*) Leipziger Berichte 1890; Theorie des Transformationsgruppen 
III, Abt. V. 



49 



twee punten, èn de vrije bewegelijkheid, èn de 
monodromie. 

Hij laat vervolgens zien, hoe de berekeningen 
van Helmholtz juist worden, als zijn voorwaarden 
voor eindig van elkaar verwijderde puntenparen 
worden vervangen door andere, die voor oneindig 
dicht bij eengelegen puntenparen gelden. 

2*^. Dat na deze juistere formuleering der axioma's 
van Helmholtz, ze nog overbodige bestanddeelen 
bevatten. LiE toont n.1. aan, dat voldoende is de 
karakteriseering: ,, Omkeerbare Liesche groep, die 
in één enkel punt van algemeene ligging vrije be- 
wegelijkheid in het infijiitesimale (d.w.z. mogelijkheid 
van continue beweging bij vasthouding van het 
punt met een lijnelement, een vlakelement door het 
lijnelement, een 'element door het vlakelement .... 
en een '^"-element door het "^"^element, maar 
niet meer als bovendien nog een ""^element door 
het °""~element in rust moet blijven) bezit." Alleen 
voor n =r 2 geeft deze karakteriseering nog bovendien 
de groep der spiraaltransformaties, die we door een 
bijzonder axioma, b.v. het monodromie-postulaat van 
Helmholtz dienen uit te sluiten. 

3°. Dat ook, wanneer men de groepen wil 
karakteriseeren, zooals Helmholtz oorspronkelijk 
beproefde, uit het gedrag van eindig van elkaar 
verwijderde puntenparen, diens formuleering te veel 
bevat. LiE bewijst n.1. als voldoende de karak- 
teriseering: ,, Omkeerbare Liesche groep zóó, 

5o 



dat na vasthouding van één punt een ander punt 
zich nog vrij kan bewegen in een zoogenaamde 
pseudo-bolruimte, die niet door het vaste punt gaat, en 
in 't algemeen n — 1 dimensies heeft. Verder moet 
binnen een zeker eindig gebied de eigenschap gelden, 
dat, na vasthouding van q<n — 1 punten, een punt 
van algemeene ligging zich over de gemeenschap- 
pelijke doorsnede der door de vastgehouden punten 
bepaalde pseudo-bolruimten nog geheel vrij kan 
bewegen." 

Het ligt voor de hand, om bij al de boven- 
genoemde karakteriseeringen van groepen te trachten 
zich los te maken van de beperking tot Liesche 
groepen O, in 't algemeen te trachten naar den op- 
bouw van een groepentheorie onafhankelijk van pos- 
tulaten over differentieerbaarheid (cf. HiLBERT, 
,, Mathematische Probleme, Vortrag gehalten auf 
dem internationalen Mathematiker-Congresse Paris 
1900", Problem n° 5, Gött. Nachr. igoo, pag. 269. 



') Klein (,,Zur ersten Verteilung des Lobatcheffsky-Preises", 
Math. Ann. 50) verdedigt de beperking tot differentieerbare 
functies bij de onderzoekingen over de grondslagen der meetkunde 
van LiE met de opmerking, dat elke empirische functie toch met 
zoo groote benadering als we willen door een analytische functie 
kan worden voorgesteld. Maar het is a priori zeer goed mogelijk, 
dat er niet-Liesche groepen bestaan zóó, dat de benaderende 
analytische transformaties geen groep vormen, (al vormden ze 
dan ook ,, bijna" een groep, d. w. z. naderden onbepaald tot de 
groepeigenschap, zonder haar echter, zoolang ze analytisch blijven, 
te kunnen bereiken.) 



De karakteri- 
seering der 
vlakke bewe- 
gingsgroepen 
onafhankelijk 
van differenti- 
eerbaarheid 
door HILBERT. 



5i 



zooals we dat boven hebben doorgevoerd voor een 
zeer eenvoudig geval n.1. de groep der hoofd- 
bewerkingen met reëele getallen. 

Een tweede geval, dat is afgedaan, betreft de groep 
der Euclidische of niet-Euclidische bewegingen van 
het vlak. HiLBERT ^) heeft ze gekarakteriseerd als 
groep van omkeerbaar uniforme transformaties, die 
het sitale verband onveranderd laten, die een afgesloten 
syteem vormen, (d.w.z., dat, zoo er transformaties van 
de groep zijn, die een stel bepaalde punten tot een 
ander stel bepaalde punten onbepaald kunnen laten 
naderen^ er ook een transformatie van de groep is, 
die het eerste stel in het tweede overvoert), en 
waarbij elke „cirkel" (d.i. het geheel der punten, 
waarin na vasthouding van één punt een ander 
punt nog kan overgaan) nit oneindig veel punten 
bestaat ■). 

Hij bewijst daaruit eerst, dat elke cirkel een 
gesloten continue kromme zonder dubbelpunten (een 
gesloten ,Jordan-kromme") is, dat de cirkels om 
een punt, elkaar omsluitend, het geheele vlak vullen, 
en dat bij draaiing van het vlak om P alle punten 
tezamen hun cirkels geheel doorloopen volgens functies 
van één continuen parameter; verder, dat een wille- 



') Mathem. Annalen 56. Ook in dit geval blijkt het analytisch 
zijn der functies een gevolg van de groepeigenschap. 

*) Daar hij evenwel het Cartesiaansche vlak niet completeert, 
nóch met een punt, nóch met een lijn in 't oneindige, vindt hij 
alleen de Euclidische en de hyperbolische bewegingsgroepen. 

52 



keurig punt zich in elk ander punt door beweging 
laat overvoeren, en dat na vasthouding van twee 
punten het geheele vlak vast staat. Het tweede deel 
van zijn betoog dient dan, om de rechte lijnen 
in te voeren ; hij bouwt tusschen twee punten de 
rechte verbindingslijn, door de in zich overal dichte 
duale schaal der middens te construeeren, onder 
het midden van AB verstaande het middelpunt van 
de draaiing, die A naar B en B naar A voert (zooge- 
naamde ,,halfdraaiïng"), en hij bewijst dat deze puntrij 
in het platte vlak geen lacunes vertoont, dus met 
haar grenspunten samen een continue kromme geeft ; 
verder wordt de rechte lijn over haar uiteinden 
heen verlengd, door om die uiteinden halfdraaiïngen 
uit te voeren; vervolgens wordt bewezen, dat twee 
rechte lijnen hoogstens één punt gemeen hebben, 
en dat twee punten steeds een rechte verbindings- 
lijn hebben, en natuurlijk ook niet meer; en ten slotte 
worden de stellingen over congruentie aangetoond, 
waaruit zich dan al naar den eisch omtrent parallellen, 
die men toevoegt, de Euclidische of de hyperbolische 
meetkunde laat opbouwen. 

Men kan zich vragen voor een ruimte van den Karakterisee- 
samenhang der projectieve ruimte een systeem van ""^ ^^" ^^^ ''" 

, 111 • neaire systeem 

krommen, oppervlakken, ruimten enz., overeenko- der projectieve 
mende met het projectieve systeem der rechte lijnen, °f elliptische 
platte vlakken, platte ^ruimten enz. te karakteriseeren. 
Het volgende is voldoende: 

53 



Door twee punten is steeds één rechte lijn 
bepaald ; door een rechte lijn en een punt er buiten 
gaat een plat vlak, dat alle rechte lijnen, die er 
twee punten mee gemeen hebben, bevat ; door een 
plat vlak en een punt er buiten gaat een ^ruimte, 
die elke rechte lijn, die er twee punten mee gemeen 
heeft, bevat; enz.; verder: een rechte lijn en een 
"^"'ruimte hebben een snijpunt. 

Uit deze eigenschappen is n.1. eenvoudig de eendui- 
digheid van de quadrilaterale constructie der 4'^* harmo- 
nische voor puntrijen, stralenbundels enz. af te leiden. 
Kiest men dan n+1 willekeurige punten uit en laat die 
correspondeeren met de n-j-1 basispunten van een 
volgens vroegere uiteenzetting opgebouwde projec- 
tieve "ruimte en vervolgens een eveneens willekeurig 
gekozen (n-l-2)'^^ punt aan het eenheidspunt der 
projectieve ruimte, dan kan men door opvolgende 
quadrilateraalconstructies (dus alleen door projec- 
teeren en snijden) uit de n-j-2 willekeurig gekozen 
punten zooveel verdere punten bepalen, dat er aan 
elk punt met rationale coördinaten van de projec- 
tieve "ruimte een beantwoordt. 

Dat de aldus geconstrueerde punten overal dicht 
liggen, volgt uit een bewijs van LüROTH en Zeuthen, 
meegedeeld door Klein in Math. Ann. 7. En hieruit 
volgt dan, dat de één-éénduidige correspondentie 
der punten van beide ruimten ook doorgaat voor 
de irrationale punten i). 

^) Door deze afbeelding op een reeds vooraf opgebouwde pro- 
54 



Een systeem overeenkomende met de rechte Karakterisee- 
lijnen, platte vlakken, -^rumiten enz. van een Jiucli- nneaire systeem 
dische of hyperbolische "ruimte (in beide gevallen der Cartesiaan- 
vult het geheel der punten een Cartesiaansche H^l ° ^^'^ '^j^' 
"ruimte op) kan aldus worden gekarakteriseerd : hyperbolische 

Door twee punten is steeds één rechte lijn bepaald ; ^""" ^" 
door een rechte lijn en een punt er buiten gaat 
een plat vlak, dat alle rechte lijnen, die er twee 
punten mee gemeen hebben, bevat; door een plat 
vlak en een punt er buiten gaat een 'ruimte, die 
elke rechte lijn, die er twee punten mee gemeen 
heeft, bevat, enz.; verder: elke "-'ruimte verdeelt 
de "ruimte in twee deelen zóó, dat elke rechte lijn, 
die een punt van het eene deel met een punt van 
het andere deel verbindt, de "-'ruimte snijdt in een 
tusschen de beide laatstgenoemde punten gelegen 
punt. Men kan dan n.1. volgens ScHUR (Mathema- 
tische Annalen 39) bewijzen, dat dit systeem met 
zijn ,, ideale elementen" kan worden aangevuld tot 
het volledige boven behandelde projectieve systeem. 
Zoo zien we, als nog de eisch, dat het parallellen- 
axioma van EuCLiDES moet gelden, wordt opgelegd, 
noodzakelijk hethneaire systeem van de Cartesiaansche 
"ruimte (of van de projectieve "ruimte verminderd met 



jectieve ruimte schijnen de ontwikkelingen van Klein (Vorlesun- 
gen über nicht-Euclidische Geometrie I pag. 319— 3S3)> die be- 
oogen uit de axioma's der projectieve meetkunde de verdere 
stellingen direct te bewijzen, overbodig. 

55 



een enkele platte °~'ruimte) voor den dag komen; leg • 
gen we echter den parallelleneisch van Lobatcheffsky 
op, dan komt het lineaire systeem van een Cartesiaan- 
sche (of ook van een projectieve) ruimte, voorzoover 
gelegen binnen een willekeurig convex ovaal ; welk 
ovaal men als ,, ovaal der grenspunten" aan het 
gegeven systeem kan toevoegen. 

Het lineaire systeem van de hyperbolische "ruimte 
hebben we hier dus alleen, zoo het ovaal der grens- 
punten een tweede graads- ""'ruimte is; men kan 
dit dwingen met den eisch, dat het gegeven systeem 
een projectieve uniforme groep met ^ n (n -f- 1) 
parameters toelaat. 
De variatie- Men kan zich nu vragen, op welke wijze tusschen 
problemen, die i^qq willekeurige puntcu eener Cartesiaansche ruimte 

lineaire syste- o i- 

men geven. steeds een kromme bepaald kan zijn zóó, dat het 
geheel dier krommen voldoet aan de bovengenoemde 
karakteriseeringen van een lineair systeem en zal 
dan in de eerste plaats denken aan variatieproble- 
men, waarvoor die krommen extremalen zijn. 

We weten dat een krommenstel, zooals verlangd 
wordt, uniform is af te beelden, hetzij op derechte 
lijnen eener Cartesiaansche ruimte aangevuld met 
een ruimte in 't oneindige, hetzij op die eener 
Cartesiaansche ruimte zonder meer, hetzij op die 
eener Cartesiaansche ruimte voor zoover gelegen 
binnen een convex ovaal. 

Men zal dus zoeken naar variatieproblemen in 
de Cartesiaansche ruimte, die als extremalen de 



56 



rechte lijnen geven : immers in de meest algemeene 
uniforme continue transformatie der oplossing van dit 
probleem zal men vinden het algemeene variatiepro- 
bleem, waarvan de extremalen de sitale eigenschappen 
van het lineaire systeem bezitten. 

Over dit vraagstuk zijn onderzoekingen gedaan 
door Hamel (Mathem, Annalen 57) voor het platte 
vlak, en in hoofdtrekken voor de ^ruimte; die we, 
wat het platte vlak betreft, in 't kort weergeven. 
Hamel stelt de vraag van een eenigszins ander 
standpunt als hier; het gezochte integraalelement 
onderwerpt hij daardoor van te voren aan eenige 
beperkingen, waardoor het zich met de gewone 
opvatting van ,,lengteëlement" der metrische geometrie 
meer of min dekt, en de extremalen, die hij zoekt, 
speciaal fninimaalkr ommen zijn. 
Zoo zoekt hij de minimaalkrommen van de integraal 

ƒds. f (x y tg 3-) = ƒdx. g (x y tg S-), 

waar f een positieve, eenduidige (dit, omdat het 
lengteëlement omkeerbaar moet zijn) en in 't algemeen 
continue en naar alle drie argumenten differentieer- 
bare functie voorstelt. Daar de differentiaalvergelij- 
king van het variatieprobleem den vorm 

d2y 

moet aannemen, moet g voldoen aan de differentiaal- 
vergelijking: 

5; 



T-^ + P ^-:f ^-==0 b^= P gesteld). 

?pdx'*^dpdy dy Mx ^ ^ 

Door deze vergelijking naar p te differentieeren, 

komt een vergelijking m ^-^, met de algemeene 
oplossing : 

?2g 

^2=rW(p,y — px); 
waaruit ten slotte voor g wordt gevonden : 

(u een willekeurige functie van x en y). 
Merken we op: 

/pp p 

/ V (p) dp dp = / (p — |)v(§)d§, en stellen we 

W =r cos^ 3". w, 
dan komt : 

g = ^J C0ST.w(tgT,y-XtgT)(tg=r-tgT)dT+^+tg3-^. 

/"^ 1 , ■ f*u , du 

g = o / ^- sin (3- — t). w. d T 4- . h tg 3- 3—. 

° 3-0 ^ cos 3- ^ ^ ' d X ' '^ o y 

rSt öu ?u . 

f = , / sin (3r — t). w. d T + =; cos 5 + ^~ sm 3-. 

;?o^ ^ ' ' dx ' dy 

Hierin wordt als voorwaarde, dat we een minimum 
hebben, gevonden : 

w positief voor elke x, y en 3-; 
58 



terwijl verder uit de eenduidigheid van f volgt: 
a) eenduidigheid van w. 

b) ^ r= ^ / sinT.w.dr. 

:r— ^ A / COST.W.QT. 

Zoo wordt ten slotte het boogelement : 

ds B- 

dl ^ — / sin(3 — t). w(tgT, y — xtgT)dT. 

Hamel onderzoekt dan eerst, in welk geval tot 
de minimaalkrommen alle rechte lijnen van het platte 
vlak, de lijn in 't oneindige incluis, behooren — 
zoodat door het variatie-vraagstuk een projectief 
lineair systeem is bepaald — ; hij vindt als voor- 
waarde, dat /dl langs alle rechte lijnen eindig blijft, 
en voor alle rechte lijnen dezelfde waarde heeft. 

Vervolgens geeft hij een kategorie ongeveer over- 
eenkomende met een door Minkowski in zijn ,, Geo- 
metrie der Zahlen" opgestelde geometrie, waar tot 
de minimaalkrommen alle rechte lijnen, maar niet de 
lijn in 't oneindige, behooren — het variatie-vraagstuk 
bepaalt hier dus een volledig Euclidisch lineair 
systeem — ; hij stelt nl. w van haar tweede argument 

onafhankelijk, en ^ en s- constant, ziet echter voor 
dit geval van de omkeerbaarheid van het lengte- 

59 



element af; zoo vindt hij als ,,maatkromme", d.w. z, 
meetkundige plaats der punten op een afstand 1 van 
den oorsprong gelegen : 



F(r,3-) = 1 — r / sin(3--T).w(T).dT-f «cos3-4 (3sin3-^ o. 



En daar het eerste lid hiervan, met een positieven 
factor vermenigvuldigd, de kromtestraal is, en de 
eenige beperking voor F is, dat w steeds positief 
moet zijn, vindt hij als eenige beperking voor de 
,,maatkromme", dat zij overal convex is. 

Ten slotte geeft hij als voorbeeld van een oplos- 
sing, die een Euclidisch lineair systeem binnen een 
convex ovaal voorstelt, de zoogenaamde Hilbertsche 
meetkunde: Hilbert definieert n.1. in Math. Ann. 
46 den afstand tusschen twee punten als de logarithme 
van hun dubbelverhouding met de snijpunten van 
hun verbindingslijn met een convex ovaal, waar ze 
binnen liggen; hij toont l.c. meetkundig aan, dat 
voor die aanname in een driehoek de som van twee 
zijden grooter is dan de derde; Hamel laat nu zien, 
hoe ook deze meetkunde uit zijn algemeene formule 
kan worden afgeleid. 

Daartoe zoekt hij de functies W en u zóó te 
bepalen, dat 

60 



Xo p p 

/ "dx f ^V f dpW + u(x.^yo) — u(xiyi)=: 
X 1 c c^ 

-w(Xl — Vl) (X2 — ^2 ) 
(Xo — Vj) (Xj — V,) ' 

en vindt, y — p x = b gesteld : 

W[p„-p.] = p(.-v,)-,^ 

van welke uitdrukking hij gemakkelijk aantoont, dat ze 
positief (negatief) is voor 3- in het eerste of derde 
(tweede of vierde) kwadrant, waaruit dan weer volgt, 
dat w in elk geval positiefis, zooals voor de minimum- 
eigenschap noodig is. 
Verder vindt hij : 

X — Vj(c,y— cx) 

U := log —, T. 

° X — Vj (c, y — cx) 

We kunnen de bovengenoemde Minkowskische 
geometrie (met omkeerbaar boogelement) als bijzon- 
der geval van deze Hilbertsche meetkunde laten 
voor den dag komen. 

Immers stelt Minkowski als boogelement ds f (3-), 

en Hilbert: ds J 1 ! ; laten we nu het 

' S — * S 1 8.2 — S ) 

Hilbertsche grensovaal onbepaald groot van bepaal- 
den vorm worden, dan wordt 1 oneindig 

' S — S j Sj — s ° 

klein, maar tevens voor evenwijdige lijnen gelijk, 
het wordt dus na vermenigvuldiging met een onein- 

6i 



dig groote constante een functie van de richting 
alleen, en het boogelement wordt van den vorm 
ds f (3-). 

De mogelijke In den aanvang van dit hoofdstuk hebben we 
un'^etf"^'"^' ^ soorten lineair geordende puntrijen kunnen op- 
bouwen, n.1. het ordetype « der afgetelde posi- 






tieve ordinaalgetallen en het omgekeerde type 
en daarnaast de in zich overal dichte aftelbare 
rij (het ordetype i der rationale getallen, alle, of 
tusschen o en 1, of ook der duale schaal, geheel, 
of tusschen o en 1 ') ). Daarnaast hebben we het 
intuïtief continuüm beschouwd als meetbaar conti- 
nuüm, en gezien, dat zich elk punt daarop laat 
benaderen door een duale schaal. Het contimium 
als geheel was ons echter intuïtief gegeven ; een 
opbouw er van, een handeling die ,,alle" punten er van 
geïndividualiseerd door de mathematische intuitie 
zou scheppen, is ondenkbaar en onmogelijk. 

De mathematische intuitie is niet in staat anders 
dan aftelbare hoeveelheden geïndividualiseerd te 
scheppen. Maar wel kan zij, eenmaal een schaal 
van het ordetype u opgebouwd hebbend, er een 
contimium als geheel overheen plaatsen, welk conti- 
nuüm dan achteraf weer omgekeerd als meetbaar 
continuüm als matrix van de punten der schaal 
kan worden genomen. 



^) waarbij we zullen rekenen, o en 1 zelf naar verkiezing bij 
de puntrij te kunnen tellen of niet. 

62 



Zoo kan een gegeven continuüm door een ander 
continuüm met lacunes worden overdekt; we behoe- 
ven daartoe op het eerste continuüm maar een 
ordetype >i te bouwen, dat het niet overal dicht 
bedekt en vervolgens bij dat ordetype vi het continuüm te 
construeeren; we kunnen dan altijd een punt van het 
tweede continuüm identiek noemen met het grens- 
punt van zijn benaderingsreeks op het eerste con- 
tinuüm. In zooverre kunnen we dan zeggen: ,,De 
punten van het tweede continuüm maken een deel 
uit van die van het eerste"; en in zooverre hebben 
we nu drie wijzen van opbouw voor ,,puntverzame- 
lingen op het continuüm", n.1. : 

1^. kunnen we er volgens eindige getallen of de orde- 
typen « of *», of ook in afwisseling of onderschikking 
aan elkaar van deze drie '), discrete, geïndividualiseerde 



^) Gebruiken we alleen het ordetype « in verbinding met ein- 
dige getallen, dan krijgen we de zoogenaamde welgeordende verza- 
melingen, bij den opbouw waarvan elk element, dat later in den 
opbouw komt, ook later komt in de rangschikking. De opbouw 
kan als element voor haar eindige getallen of getallen van het 
ordetype w natuurlijk ook alle reeds vroeger opgebouwde welge- 
ordende verzamelingen nemen. We krijgen zoo achtereenvolgens 
1; 2;... w; w + 1; u -\- 2\ . . . u. 2;... u^: üi- -{- l; . . , 



•>';... u ; . . . u ; . . e, (d. i. O) , de machtsverheffing 



u 



maal voortgezet) ; 

Een welgeordende verzameling heeft de eigenschap, dat zij zelf 

63 



puntverzamelingen op bouwen ; het aantal dezer pun- 
ten is steeds aftelbaar, en evenzoo het aantal der 
door puntenparen daaruit op het continuüm bepaalde 
intervallen; in elk van haar intervallen, en evenzoo 
in haar geheel is de puntverzameling al of niet 
dicht (hieronder verstaan we : van het ordetype *i , 
nadat alle welgeordende of omgekeerd welgeordende 
verzamelingen er in tot een enkel punt zijn samen- 
getrokken). 

We kunnen ook zeggen: in een willekeurig seg- 
ment van het continuüm (waarvoor ook het geheele 
continuüm kan worden gekozen) is de puntverzameling 
al of niet dicht ; en nader onderzoek leert, dat dit 
laatste zich als volgt karakteriseert bij benadering 
van de puntverzameling volgens een willekeurige 
overal dichte duale schaal op het beschouwde seg- 



en ook al haar deelverzamelingen een eerste element hebben. 
Naast de welgeordende kunnen we ook omgekeerd welgeordende 
verzamelingen krijgen. De eenige wijze om niet welgeordende of 
omgekeerd welgeordende verzamelingen op te bouwen, bestaat in 
w maal herhaalde tusschenvoeging in welgeordende verzamelingen 
van welgeordende verzamelingen ; hierbij kunnen dan „dichte" (zie 
den tekst) deelverzamelingen ontstaan. 

Men vergelijke hierbij een theorema, door Bernstein (Mathem. 
Ann. 6i pag. 144) uitgesproken: 

Elke geordende aftelbare verzameling (dus ook elke individueel 
opbouwbare verzameling ; immers zeg ik bij het opbouwen niets ■ 
omtrent ordening, dan kan ik stilzwijgend al het later bijgebouwde 
na het vroeger gebouwde denken) is met behoud van orderela- 
ties af te beelden op een deel van het ordetype v\. 

64 



ment als eenheidssegment geconstrueerd: bij bepaling 
van elk volgend duaalcijfer is dat ói bepaald door 
het vorige óf laat keus tusschen twee ; is het laatste 
het geval, dan is voor elk der beide keuzen het 
daaropvolgende duaalcijfer weer óf bepaald, óf laat 
keus tusschen twee, enz. hetgeen zich laat afbeelden 
door een figuur van den vorm 




breken we hier elke tak, die zich nooit meer ver- 
takt, af, 1) dan blijft ten slotte over óf niets óf een 
voortdurend zich vermenigvuldigende twee vertakking ; 
in het laatste geval is de verzameling wèl, in het 
eerste niet, binnen het beschouwde interval dicht. 
2°. kunnen we in intervallen, waarbinnen de laatste 



^) van links naar rechts naar volgorde van den rang van het 
duaalcijfer der aanhechtingsplaats ; is de afbrekingsoperatie op 
alle u rangen volbracht, dan wordt zij op dezelfde wijze op het 
gebleven residu nog eens toegepast. 



5 



65 



Oplossing van 
het continuum- 
probleem. 



puntverzameling dicht is, haar eerst door de boven 
beschreven samentrekkingen maken tot een overal 
in zich dichte verzameling, en dan daarop de operatie 
,, completeering tot een continuüm" toepassen; de 
intervallen, die we daartoe uitkiezen, zijn steeds 
duidelijk te definieeren, want, daar hun aantal aftel- 
baar is, zijn ze geïndividualiseerd. 

3". kunnen we een puntverzameling scheppen, 
door aan een continuüm in een zeker interval een 
er op geconstrueerde dichte schaal te onttrekken. 

Is nu bij den opbouw van een puntverzameling 
de operatie 2° (al of niet in vereeniging met 3°) toe- 
gepast, dan is zij op een continuüm ,, af te beelden" ; 
dit is zoo te verstaan : in beide verzamelingen (het 
continuüm en de gegeven puntverzameling) wordt een 
welgedefinieerde, dus aftelbare puntgroep uitgekozen 
zóó, dat alle andere punten als benaderingen ten op- 
zichte van overal dichte deelen van die groep kunnen 
worden beschouwd, en vervolgens worden de onge- 
definieerde punten met elkaar één-éénduidig in corres- 
pondentie gebracht, door de overal dichte deelen, 
ten opzichte waarvan in beide de oneindig voort- 
loopende benaderingen moeten worden genomen, op 
elkaar af te beelden ; de wél gedefinieerde punten 
kunnen dan altijd nog daarna in correspondentie 
met elkaar worden gebracht, daar ze in beide 
aftelbaar zijn. 

Waaruit volgt, dat elke puntverzameling op het 
meetbaar continuüm (dus ook op het intuitief conti- 



66 



nuum zonder meer, waarmee we immers eerst 
kunnen werken nadat we het meetbaar ') — of uit 
geïndividualiseerde meetbare stukken opgebouwd — 
hebben gemaakt), die niet aftelbaar is, de mach- 
tigheid van het contimmm bezit. 

Hiermee schijnt het ,,continuum-probleem", door 
Cantor in 1873 opgesteld en door Hilbert {,, Ma- 
thematische Probleme", Problem no. 1, pag. 263.) als 
nog steeds actueel gesignaleerd, te zijn opgelost, en 
wel in de eerste plaats door streng vast te houden 
aan het inzicht: over een continuüm als puntver- 
zameling kan niet worden gesproken, dan in betrek- 
king tot een schaal van het ordetype n. 

We kunnen een Cartesiaansche ruimte denken 
van « dimensies, ook van u* -\- u dimensies, en 
daarvan beschouwen alle punten wier coördinaten 
van lager dan een gegeven nummer, nul zijn. ') 

We kunnen nog verder gaan, en een Cartesiaansche 
ruimte van {u*-\-uf afmetingen denken. Elke coör- 



') De niet-Archimedische pseudocontinua, waarover beneden zal 
worden gesproken, moeten volgens onze continuumopvatting als 
meerdimensionale continua (op een bijzondere wijze geordend en 
aan een bijzondere transformatiegroep onderhevig) worden opgevat ; 
daar echter volgens Cantor meerdimensionale, en ook aftelbaar- 
oneindig-dimensionale continua zijn af te beelden op eendimensio- 
nale, gaat de stelling ook voor èn meerdimensionale èn niet-Archi- 
medische continua door. 

*) Men vergelijke in dit verband HiLBBRT, Festschrift zur Feier 
der Enthiillung des Gauss-Weber-Denkmals in Göttingen, S 33. 



Niet-Archimc- 
dischc untfortne 
groepen op het 

eendimensio- 
naal continuüm. 



67 



dinaat draagt dan n geheele positieve of negatieve 
getallen als indices, en we beschouwen slechts die 
punten, wier coördinaten alleen bestaan (niet nul zijn) 
voorzooverre alle indices er van grooter zijn, dan 
die van een bepaalde gegeven coördinaat, zoodat 
de nummers van de overblijvende coördinaten een 
welgeordende verzameling vormen. 

Deze punten zijn lineair te ordenen, door voor 
2 punten het vóór of na te beslissen naar de laagst- 
genummerde coördinaat, waarin ze verschillen. Op 
een zoo geconstrueerd pseudo-continuum (dat een 
gewoon meetbaar continuüm is met nog allerlei punten 
tusschen een willekeurig er op gekozen punt en een 
door dat punt begrensd segment, en met bovendien 
nog allerlei punten rechts en allerlei punten links 
van alle punten van het gewone continuüm) geldt 
het nu, een groep van hoofdbewerkingen te con- 
strueeren, die voor de er op liggende punten van het 
gewone continuüm een groep van hoofdbewerkingen 
in elkander geeft, We kunnen dan beginnen, voor 
ieder der coördinaten een schaal en daaruit een 
gewone optelgroep te construeeren. Daarmee is dan 
tegelijk een optelgroep voor het geheel geconstrueerd, 
die werkelijk associatief en commutatief is, en die elk 
punt in elk ander punt kan overvoeren. 

Kiezen we vervolgens op elk der schalen willekeurig 
een l-punt, dan is de operatie: ,, vermenigvuldiging 
met een punt van het gewone continuüm" (d.w.z. met 
een punt, waarvan alle coördinaten nul zijn behalve 

68 



die met index o) van zelf duidelijk ; zij is associatief 
er met de optelgroep distributief. Zoeken we hierbij 
een associatieve operatie, die alle indices der coör- 
dinaten I vergroot, en die we zullen voorstellen 
door ,,ai X"; speciaal ,,li X", als ze steeds l-punten 
in elkaar overvoert (waartoe we onze l-punten altijd 
geschikt kunnen kiezen). Daar ze de groepen binnen 
de enkele coördinaten in elkaar moet overvoeren, 
hebben we nu ook algemeen 

Il X a^ = a^^^. 

Zoeken we verder een associatieve operatie, die 
alle indices der coördinaten u vergroot, en die we 
zullen voorstellen door ,,a„ X"; speciaal ,,i^ X", 
als ze het l-punt van de o-coördinaat overvoert in 
dat van de «-coördinaat, dat van de «-coördinaat in 
dat van de 2« -coördinaat, enz. 

Daar ze weer de groepen binnen de enkele coördi- 
naten in elkaar moet overvoeren, hebben we, als «een 
eindig getal: 

1 w X '^« ^^^ I F'* •' I « -^ «• 
Daar de operaties Ij en !« samen associatief moe- 
ten zijn, hebben we verder: 

I Psa 1 « + 2 = l« X ^J 
= (1« X l,)Xai 
= PiX 1, X 1«X a, 



I ^ i « 



= PiX 1. X Ip 

^^ I Pi ^1 « -1-2» 

69 



en we krijgen, zoo voortgaande: 

P« = P*- 
En in 't algemeen, als r een willekeurig eindig 
of oneindig getal : 

{ Pt -h I ^ I T -t- « -I- I = 1« X ^r 4- 1 

= (1«X l,)Xa^ 

==P,XliX(l«Xar) 

= p, X 1,X IPt a ir + « 

^^ I Pi Pt ^ ! T + « + 1 
zoodat in 't algemeen 

Pt = P«, 
als « het eindige deel van het transfinite getal t is. 

Op dezelfde wijze voeren we in de operatie 
,,1«2 X " ZÓÓ, dat: 

l«^' X a^ = i qT a ; T + «^ 
en vinden uit de associatieve eigenschap vooreerst: 

als « en P eindige getallen zijn. 

En vervolgens hebben we, als t =. ^ -\- ^u -\- u, 
waarin C slechts termen van hoogeren, dan den 
eersten graad in « bevat : 

70 



-q^^'^xi.xi^.xi.sXi^ 



I ^ T i W 



;j 



zoodat we hebben 

Dat verder deze voor p^ en q^ als noodzakelijk 
gevonden voorwaarden ook voldoende zijn, blijkt 
als we uitrekenen : 

en 

i laj-flij«-j-.-^«2X l,.j+li^«+r^«2 j X ^?'j "i.j« + «•,«*. 

We vinden dan voor beide uitdrukkingen: 

pbiai+liiaj+bia3_ qCibi + cibs+cjbj^ yCiaj+ciaj+cjas ^ 
X l(ai+aj+a3H-(bi+bj+lj,)« + ici + cj + c,^«8' 

Zoo voortgaande kunnen we ,,J^s X" ,, lft,n X" 

definieeren, en, als we onder vermenigvuldigen met 
een som nog verstaan vermenigvuldigen met de 
termen en dan sommeeren ; en opmerken, dat voor 
de reciproke van een getal alle coördinaten bij 
opvolging zijn te benaderen, dus ook de deeling 
uitvoerbaar is, hebben we een volledig stel bewer- 
kingen op ons lineair pseudo-continuum, waarvoor 
de associatieve en distributieve eigenschappen gel- 
den, maar, als n >• l is, niet noodzakelijk de com- 
mutatieve; immers bijv.: 

71 



Il X 1« = l« + 1, maar 

i« X 1. = Pa + 1 ; 

terwijl we daarentegen boven van het gewone 
meetbare continuüm hebben gezien, dat daar geen 
groep van hoofdbewerkingen is te construeeren, 
zonder dat de commutatieve eigenschap geldt. 

Het geconstrueerde pseudocontinuum kan wegens 
het gemis van de meetbaarheid een niet-Archimedisch 
continuüm worden genoemd ; het mist bovendien nog 
een andere eigenschap van het gewone continuüm, 
n.1. de Dedekindsche continuiteit ^), die zich als volgt 
laat formuleeren : wordt het geheel der punten van 
het continuüm in twee deelen verdeeld zóó, dat elk 
punt van het eene deel hooger in rang is, dan elk 
punt van het andere deel, dan heeft óf het laagste deel 
een hoogste punt en het hoogste geen laagste punt, óf 
het hoogste deel een laagste punt en het laagste geen 
hoogste punt. Uit deze Dedekindsche continuiteit is 
trouwens de meetbaarheid direct af te leiden. 

Wel bezit het niet-Archimedisch continuüm Vero- 
nesische continuiteit, die aldus is te definieeren: 
wordt het geheel der punten van het continuüm in 
twee deelen verdeeld zóó, dat elk punt van het eene 
deel hooger in rang is, dan elk punt van het andere, 
en kan ik bovendien uit beide deelen steeds 2 punten 
uitkiezen zóó, dat hun verschil kleiner kan worden 
dan elke gegeven grootheid, dan heeft óf het laagste 

*) cf. Dedekind, „Stetigkeit und irrationale Zahlen." 
72 



trieën. 



deel een hoogste punt en het hoogste geen laagste 
punt, óf het hoogste deel een laagste punt en het 
laagste geen hoogste punt. (Is de voorwaarde voor 
het onbepaald klein worden van het verschil niet ver- 
vuld, dan kan het dus voorkomen dat èn het 
laagste deel geen hoogste punt èn het hoogste deel 
geen laagste punt heeft.) 

Zooals we vroeger de projectieve meetkunde op- Nict-Archimc- 
bouwden uit n 4- i van een hoofdbewerkingsgroep Pas'ca^ische p7o- 
voorziene gewone continua of complexe continua, zoo jectieve geome- 
kunnen we het nu ook doen uit niet-Archimedische 
continua. De bewijzen voor de lineaire vergelijkingen 
van rechte lijnen, platte vlakken enz. (waarbij we er 
hier intusschen om moeten denken, de coëfiicienten 
steeds rechts van de coördinaten te schrijven) blijven 
onveranderd doorgaan; dus ook alle stellingen, die 
wij boven (zie pag. 54) ter karakteriseering van het 
stelsel rechte lijnen, platte vlakken enz. in een gewone 
projectieve ruimte hebben opgenoemd. 

Hieruit volgt, dat ook de stelling van Desargues 
(,,als van twee driehoeken de verbindingslijnen van 
overeenkomstige hoekpunten door één punt gaan, 
liggen de snijpunten van overeenkomstige zijden op 
een rechte lijn") of, wat er mee gelijkwaardig is, 
de stelling van de eenduidigheid van het 4'^^ har- 
monische punt, blijven doorgaan; evenzoo blijft geldig 
de projectiviteit van harmonische ligging. 

Maar onderzoeken we, of doorgaat de stelling van 

73 



de projectiviteit der relatieve coördinaten, dan blijkt 
dat af te hangen van het al of niet bestaan van de 
commutatieve eigenschap der vermenigvuldiging. 
Hetzelfde geldt voor de er mee gelijkwaardige stel- 
ling van Pappus (,,zijn op twee snijdende rechte lijnen 
elk 3 punten gegeven, dan liggen de 3 snijpunten der 
kruisverbindingslijnen van overeenkomstige paren 
op een rechte lijn"), die Hilbert (Festschrift, 
in 't bijzonder Kap. VI) noemt de stelling van Pascal. 
(Van de gewone onder dien naam bekende stelling 
kan zij n.1. worden beschouwd als het bijzondere 
geval voor een degenereerende kegelsnede.) Geldt 
dus de commutatieve eigenschap der vermenigvul- 
diging niet, dan vervallen mèt de stelling van 
Pascal verschillende snijpuntsstellingen, b.v. de 
stelling van het eenduidig bepaald zijn van een 
gemeenschappelijk harmonisch puntenpaar bij twee 
puntenparen van een rechte lijn, en ook de zgn. 
hoofdstelling der projectieve meetkunde: Zijn twee rechte 
lijnen door een rij van perspectiviteiten op elkaar 
betrokken, dan is door de betrekking van drie 
puntenparen op elkaar, ook van elk ander punt het 
correspondeerende bepaald. 
De stelling van Bestaat voor de niet-Archimedische projectieve meet- 
Pascai volgt uit kunde of het gedeelte er van binnen een convex ovaal ') 

het bestaan van ° 



l) Is alleen dat beperkte gedeelte gegeven met de (zie pag. 55) 
karakteriseerende eigenschappen, dan gaat de completeering met ide- 
ale elementen volgens SCHUR (Math. Annalen 39) ook voor de 
niet-Archimedische meetkunde onveranderd door. 

74 



(of bij de limiet binnen een tweemaal getelde platte een coogruente 
" ~ 'ruimte) een congruente gfoep, d. w. z. een groej '"^"'"Jp^^ 
in eigenschappen overeenkomende met de elliptische 
resp. hyperbolische (Euclidische) congruente groep '), 
dan heeft Hilbert aangetoond, dat alle snijpuntsstel- 
lingen doorgaan, dus ook de commutatieve eigen- 
schap der vermenigvuldiging er geldig moet zijn. 
(Festschrift, Kapitel III ; Neue Begründung der 
Bolyai-Lobatcheffskyschen Geometrie, Math. An- 
nalen 5y ; vgl, ook Vahlen, Abstrakte Geometrie 
p. 25l.) 

Voor een niet-Archimedische projectieve meetkunde 
binnen een convex ovaal heeft Vahlen (Abstrakte 
Geometrie p. 204 — 233) aangetoond, dat alle con- 
gruentiestellingen, dus ook de stelling van Pascal, 
dus ook de commutatieve eigenschap der vermenig- 
vuldiging, zijn af te leiden uit alleen het bestaan 
van een a^ne groep, d.i. een projectieve groep, die 
ieder punt in ieder punt kan overvoeren, en daarbij in 
elk punt vrije bewegelijkheid in het infinitesimale bezit. 

') Zulk een groep is te karakteriseeren als projectieve groep, die : 

1'. elk punt in elk punt kan overvoeren, 

2°. om elk punt vrije bewegelijkheid in het infinitesimale bezit, 
en „bollen" om het punt bepaalt, die elke halflijn om het punt 
eenmaal snijden, 

3'. alle segmenten kan omkeeren, en van alle gelijkbeenige 
driehoeken de beenen kan verwisselen ; 

en zij bestaat uit bewegingen en symmetrische transformaties, 
(de laatste alleen voor de hyperbolische en Euclidische groepen 
uitdrukkelijk te noemen.) 

75 



Senii-congru 
ente groepen 
der niet-Archi- 
medische meet- 
kunde. 



Van de niet-Archimedische vlakke meetkunde heeft 
HiLBERT nog een eigenschap bewezen (vgl. ,,Ueber 
den Satz von der Gleichheitder Basiswinkelim gleich- 
schenkligen Dreieck," Proceedings of the Londen 
Mathem. Society vol. 35). Bestaan de gewone (Euch- 
dische of niet-Euclidische) congruente groepen, dan 
geldt, zooals we zagen, de stelling van Pascal; maar 
dan bestaan er nog naast de genoemde groepen 
semi-congruente bewegingsgroepen, die alle eigen- 
schappen der congruente bewegingsgroepen bezitten; 
terwijl tóch het vlak ten opzichte van die groep 
niet symmetrisch is : een gelijkbeenige driehoek 
heeft geen gelijke basisboeken. De niet-mono- 
drome spiraalgroep van Helmholtz in de gewone 
Archimedische meetkunde, doet aan deze eigenschap- 
pen denken, maar een segment is hier niet omkeer- 
baar : immers een draaiïng?r verandert zijn ,, grootte", 
d.i. zijn invariant ten opzichte van de verschuivings- 
groep ; en ook wordt, als we een punt vasthouden, 
elke uit dat punt ontspringende halflijn door elke baan- 
kromme meermalen gesneden. Dit wordt indeHilbert- 
sche semicongruente groep voorkomen, door van de 
beide deelen van den draaiïngshoek (n.l. het eindige en 
het oneindig kleine: een oneindig groot deel bestaat 
voor hoeken niet), alleen het tweede met een evenredige 
vergrooting gepaard te doen gaan. Elk punt beschrijft 
zoo wel een spiraal, maar alleen ten opzichte van het 
oneindig kleine deel van den hoek, dat bij de perio- 
den w en 25r telkens weer o is ; dus blijft vooreerst 



76 



het eindige deel van den afstand tot het middelpunt 
bij de draaiing constant, zoodat de oorsprong niet 
onbepaald wordt genaderd ; verder wordt elke hali- 
straal uit het middelpunt door de baankrommen slechts 
éénmaal gesneden ; en ten slotte de omkeerbaarheid 
der segmenten blijft behouden. 



In het voorgaande is van de fundamenteele gedeelten 
der wiskunde getoond, hoe ze zijn op te bouwe?i uit 
voorstellingseenheden : door eenvoudige iuxtapositi< 
óf vorming van reeksen van het type « of )j óf van 
continua; waarbij intusschen in elk stadium van den 
opbouw als nieuwe eenheden geheele reeds opge- 
bouwde systemen genomen kunnen worden. 

Dat geen wiskunde, die niet op deze wijze intuïtief 
is opgebouwd, kan bestaan ; dat dus in dezen opbouw, 
onder de verplichting, zorgvuldig acht te geven, wat 
de intuïtie veroorlooft te stellen en wat niet, de eenig 
mogelijke grondvesting der wiskunde is te 'zoeken ; 
en hoe elke andere poging tot zulk een grondvesting 
moet mislukken, zal in het derde hoofdstuk worden 



uite; 



ngezet. 



Binnen zulk een opgebouwd systeem zijn dikwijls, 
geheel buiten zijn wijze van ontstaan om, nieuwe 
gebouwen zeer eenvoudig aan te brengen, als elemen- 
ten waarvan de elementen van het oude of systemen 
daarvan worden genomen, in nieuwe rangschikking, 
maar waarbij men de rangschikking in het oude 
gebouw voor 



De wiskunde 
kan geen andere 
materie behan- 
delen, dan die 
ze zelf heeft 
opgebouwd. 



oogen behoudt. Op de mogelijkheid 



77 



van zulk bouwen van nieuwe systemen in bepaalden 
samenhang met een vooraf gegeven systeem, komt 
neer, wat men noemt de ,, eigenschappen" van het 
gegeven systeem. 

En een belangrijke rol speelt bij den opbouw der 
wiskunde juist dat inpasseit in een gegeven systeem 
van nieuwe systemen, dikwijls in den vorm van een 
onderzoek naar de mogelijkheid of onmogelijkheid 
van een inpassing, die aan bepaalde voorwaarden 
voldoet, en in geval van mogelijkheid naar de ver- 
schillende wijzen waarop. 

Voorbeelden daarvan zijn in het voorgaande behan- 
deld als onderzoekingen naar de mogelijkheid der 
inpassing van aan zekere voorwaarden voldoende 
transformatiegroepen in gegeven systemen. (We kunnen 
daar het continuüm der groepparameters als het in 
te passen systeem beschouwen, en het karakter van 
dat continuüm als groepparametercontinuum als voor- 
waarde omtrent de wijze van inpassing.) En in dezen 
vorm hebben we onder meer substraten gegeven van 
verschillende in de laatste jaren uitgevoerde onder- 
zoekingen, die bedoelden licht te werpen op de 
grondslagen der wiskunde, en die alleen in den zin 
onzer vertolking wiskundige beteekenis hebben; dit 
op grond van opvattingen, die in het derde hoofdstuk 
zullen worden verdedigd, en als toelichting waartoe 
de voorgaande ontwikkelingen kunnen worden be- 
schouwd . 



78 



II. 



WISKUNDE 
EN ERVARING 



Den menschen is een vermogen eigen dat al hun wis- Het intellect 
selwerkingen met de natuur begeleidt, het vermogen ^"van ^0061*0°"^ 
n.1. tot wiskundig bekijkev van hun leven, tot het middel, 
zien in de wereld van herhalingen van volgreeksen, 
van causale systemen in den tijd. Het oer-pheno- 
meen is daarbij de tijdsintuitie zonder meer, waarin 
herhaling als ,,ding in den tijd en nog eens ding" 
mogelijk is, en op grond waarvan levensmomenten 
uiteenvallen als volgreeksen van qualitatief verschil- 
lende dingen ; die vervolgens zich in het intellect 
concentreeren tot niet gevoelde, doch waargenomen 
wiskundige volgreeksen. En het levensgedrag der 
menschen zoekt zooveel mogelijk van die wiskundige 
volgreeksen te kunnen waarnemen, om telkens, waar 
in de werkelijkheid bij een vroeger element van zulk 
een reeks met meer succes schijnt te kunnen worden 
ingegrepen, dan bij een later, ook dan, wanneer 
alleen bij dat latere het instinct wordt aangedaan, 
het eerste te kiezen als richting voor hun daden. 

6 81 



(Vervanging van het doel door Yiet middel.) Het on- 
instinctieve van deze intellectueele handeling maakt 
echter de zekerheid dat werkelijk de deelen eener 
volgreeks bijeen behooren alles behalve volkomen, 
zoodat ze steeds kan worden gelogenstraft, wat 
waargenomen wordt als ontdekking ,,dat de regel 
niet langer doorgaat". 

Intusschen in 't algemeen blijkt de taktiek, be- 
staande in het beschouwen der volgreeksen en het 
op grond daarvan teruggaan van doel op middel, waar 
in het middel gemakkelijker ingegrepen schijnt te kun- 
nen worden, eene doeltreffende en bezorgt de mensch- 
heid haar macht. Het gelukt regelmaat op een 
beperkt gebied van verschijnselen te ontdekken 
onafhankelijk van andere verschijnselen, die derhalve 
bij de intellectueele beschouwing volkomen latent 
kunnen blijven. 

Om de zekerheid van een waargenomen regelmaat 
zoo lang mogelijk te handhaven, tracht men daarbij 
systemen te isoleer e7t d.w.z. het als de regelmaat 
storend waargenomene, verwijderd te houden ; zoo 
maakt de mensch in de natuur veel meer regelma- 
tigheid dan er oorspronkelijk spontaan in voorkwam; 
hij wenscht die regelmatigheid, omdat ze hem sterkt 
in den strijd om het bestaan, doordat ze hem in staat 
Wiskundige ^telt te voorspellen, en zijn maatregelen te nemen, 
systemen, die Het intellectueel bekijken der wereld wint in uitge- 
werkeiijke be- hreidheid, doordat men, onafhankelijk van directe toe- 
vatten, pasbaarheid, uit de oer-intuitie van het intellect de 

82 



abstracte wiskunde (reine Matheniatik) opbouwt, en 
zoo een voorraad van onwerkelijke causale volgreek- 
sen kan klaar hebben, die slechts wachten op een 
gelegenheid, om in de werkelijkheid te worden gepro- 
jecteerd. Men bedenke hierbij, dat de wiskundige 
systemen, waarin geen tijdcoördinaat voorkomt, 
bij practische toepassing toch al hun relaties tot 
causale relaties in den tijd zien worden. Zoo b.v. 
de Euclidische meetkunde geeft, op de werkelijkheid 
toegepast, het causaal verband tusschen de resultaten 
van verschillende metingen, met behulp van de groep 
der rigide lichamen uitgevoerd. — Onnoodig te 
zeggen, dat van de elementen en ondergebouwen van 
een wiskundig systeem bij de toepassing gewoonlijk 
slechts een klein deel hun correspondeerende in de 
werkelijkheid vindt : de rest vergemakkelijkt slechts 
het overzicht daarvan. ') — Evenzoo bestaan de uitbreiding vaa 
waargenomen volgreeksen reeds bij een gerincfe '^^ toepassing 

? - , , . -' ° " der wisitunde 

ontwikkehng der methode met meer uitsluitend uit door daadwer- 
onafhankelijk van den menschelijken wil waargenomen ''^''J'' '"g'''ipen. 
verschijnselen, maar worden deze gecompleteerd 
met door de menschen zelf te voorschijn geroepene ; 
(daden zonder eenig direct instinctief doel, maar 



*) In het bijzonder geeft men aan waargenomen eindige volg- 
reeksen dikwijls de hypothetische (immers alleen wiskundig be- 
staande) uitbreiding tot reeksen van u termen ; op het invoeren 
van zulk een reeks in onze waarnemingen berust b.v. de oneindige 
lengte van de tijdcoördinaat. 

83 



uitgevoerd, alleen om het causale systeem tot breedere 
handelbaarheid te completeeren) ; het eenvoudigste 
voorbeeld hiervan is het door de telhandeling ver- 
kregen klankbeeld ') van aantal, of het door de maat- 
handeling verkregen klankbeeld ') van maatgetal. 
Uitbreiding van Haar groote macht krijgt echter de wiskundige 
tot het^'^moge- natuurwetenschap nog niet door het opmerken van 
lijke door in- voor het iustiuct Ongeveer gelijkwaardige volgreeksen, 
"' '^' maar door het samenvatten van een zeer groot aantal 

van zulke volgreeksen onder één gezichtspunt door 
middel van een met behulp van mathematische inductie 
opgebouwd wiskundig systeem, dat wet wordt ge- 
noemd ; het verschil van twee daaronder vallende 
volgreeksen berust dan alleen op het verschil in waar- 
den van in de wet optredende parameters. ^) Naast 
de werkelijk waargenomen volgreeksen met hun 
bepaalde parameterwaarden worden dan die met 
andere parameterwaarden als mogelijk gesteld ; en 
dat juist de waargenomen parameterwaarden alleen 
werkelijk voorkomen, wordt als toevallig beschouwd. 
Aan den anderen kant blijkt, dat men vaak een 
in een enkele waargenomen volgreeks optredende 
grootheid met succes als toevallige parameterwaarde 
beschouwt, en zoo met juistheid door inductie 
nieuwe volgreeksen voorspelt. 

') of schriftteeken. 

*) Haar belangrijkste toepassing vindt de samenvatting door 
inductie in causaliteitsbetrekkingen tusschen getallen, m. a. w. tus- 
schen resultaten van tellingen of metingen. 

84 



De eenvoudigste inductieve uitbreiding tot een 
groep van mogelijke verschijnselen geschiedt langs 
de coördinaten van ruimte en tijd als parameters. 
Dat een volgreeks juist daar en toen zich verwe- 
zenlijkte, en niet op andere plaats en anderen tijd, 
is voor den ph3'sicus toevallig. 

En na het opmerken van volgreeksen en het samen- continuïteit 
vatten daarvan door inductie, gaat de wiskundige ^^^ physische 

^ 11 ITT 1 functies. 

actie op de wereld nog verder. Vooreerst worden, om 
de groote menigte bewerkingen, die afhankelijk zijn 
van het meetbaar continuüm, te kunnen toepassen, 
de discrete waarnemingen aangevuld tot continue 
functies^); en het is niet alleen de tijdcoürdinaat, die 
continu wordt gemaakt (hier geeft de intuïtie er 
alle aanleiding toe), maar ook elk functioneel ver- 
band tusschen gemeten grootheden, waarmee de 
tijdcoördinaat niets te maken heeft ; dat is een 
willekeurige daad, weer alleen gerechtvaardigd, om- 
dat ze blijkt, te ,,gaan." Het continu maken der 
waargenomen functies doet men door de bekende 
methode der interpolatie, weer een willekeurige daad, 
die zich weer in de praktijk niet straft. Bij het 
interpoleeren krijgt men analytische functies ; en 
zulke heeft men toch reeds neiging, in de natuur- 
beschouwing uitsluitend te gebruiken ; waarom ? 

Voornamelijk door een willekeurige daad van DiHerenticer- 
anthropomorphiseering der natuur : waar men bij baarheid der 

physische func- 
ties. 

*) vgl. echter pag. 90. noot. 

85 



zijn eigen ingrijpen uit den waargenomen weerstand 
merkt, alle toestanden slechts geleidelijk te kunnen ver- 
anderen, postuleert men voor in de natuur practisch 
te meten functies in dicht bijeen gelegen argument- 
punten ongeveer gelijk gedrag '"). Van een functie, 
die tot deze kategorie behoort, behooren ook de 
differentiequotienten van verschillende orde daartoe 
(immers deze worden uit dezelfde metingen als de 
functie zelf bepaald), dus ook de difïerentiaalquotien- 
ten van verschillende orde, en differentiequotienten 
daarvan, zoo deze diffcrentiaalquotie^iten bestaan, wat we 
zullen aantoonen dat het geval is. Zij n.1. ^ot. een der 
onafhankelijk veranderlijken, en zij ^Al^a) het maxi- 
mum der spelingsgebieden tusschen x^ en x^-j-A van 
de verschillende differentiequotienten, zooals die 
hooren bij de verschillende aangroeiingen der onaf- 
hankelijk veranderlijke x^, wanneer men die aangroei- 
ingen achtereenvolgens alle waarden laat doorloopen 
tusschen o en een zekere zoo klein als men wil, doch 
vast te kiezen waarde a, dan volgt uit het zooeven 
genoemde postulaat, dat ^/\^ïnetl\ tot o nadert. Verder 
hebben we, onder ~'^ een echte l)reuk verstaande : 

+'-f-^^^ 

^nVj-Ax> 






^) wat niet wegneemt dat men, zonder voor de natuur meer dan een 
snelle overgang te postuleeren, bij benadering dikwijls discontinuitei- 
ten invoert in het wiskundig beeld tot vereenvoudiging van het rekenen. 

86 






- .- , 'A' 



waaruit we in verband met de boven gegeven definitie 
van Ca (x^) afleiden : 

(-7 1 — (ttt: — ) < ^A ('^flt) in absolute w^aarde, 
Ax^lx, V-^AxJx^ A^ «^ 



«( « n ^ ^ 



en hieruit volgt, dat het spelingsgebied <r^(xjder diffe- 
rentiequotienten voor aangroeiingen van x^, gelijk aan 
een echte breuk maal A, kleiner is dan 2£. (x^). 

Nemen we dus in een bepaald punt een oneindig 
voortloopende reeks van ten opzichte van A rationale, 
onbepaald afnemende, aangroeiingen S, dan nemen 
de spelingsgebieden o-j (x^) onbepaald af, terwijl 
tevens elk volgend spelingsgebied binnen het voor- 
gaande ligt ; ze naderen dus tot een enkel punt ; deze 
eigenschap is direct van rationale op irrationale S uit 
te breiden (dit op grond van de continuïteit der fun- 
ties) ; het differentiequotient voor een aangroeiing J 
ligt echter binnen het spelingsgebied <rj (x^) ; ook dit 
nadert dus onbepaald tot hetzelfde punt, als het spe- 
lingsgebied, waarin het bevat is; er is dus een limiet- 
waarde voor het differentiequotient^ het differentiaal- 
quotiënt; en op dezelfde wijze toont men op grond van 
hetzelfde postulaat het bestaan van alle hoogere diffe- 

87 



rentiaalquotienten aan. ^) (Hierbij heeft dan het idee ten 
grondslag gelegen, dat de primitieve willekeurige scha- 
len, b.v. tijdmaat door den slinger, lengtemaat door een 
maatstok, een soort van absolute waarheid hebben, 
n.1. een soort absolute gelijkheid voor dichtbijeen 
gelegen gelijke schaaldeelen : die schalen zijn trou- 
wens tamelijk instinctief geconstrueerd.) ^) 
Principes der Wat men dan verder ^) niet willekeurig heeft aan- 
mechanica. genomen, maar in de praktijk a posteriori heeft opge- 
merkt, is, dat een groot gebied van waargenomen 
verschijnselen is uit te drukken door differentiaal- 
vergelijkingen der 2* orde (,,inertiebeginsel"), op 
grond waarvan krachten (de naam in analogie met de 

') waarmee de zekerheid, dat de functie analytisch is, nog niet 
is verkregen, vgl. de ontwikkehngen van Pringsheim in Math. 
Annalen Bd 44. 

') Waar men in gebieden van verschillende orde van grootheid 
verschillend gedrag der functies heeft moeten invoeren (b.v. bij 
moleculairtheorieën), tracht men de dififerentieerbaarheid te hand- 
haven voor beide gebieden van grootheid, en dat zelfs dan nog, 
wanneer men ter vereenvoudiging van het rekenen vaak de eene 
maat oneindig klein in verhouding tot de andere onderstelt. Hierbij 
ontmoet men dan echter op het gebied der grootere maat vaak 
moeilijkheden. Zoo scheen de onbepaald voortzetbare differenti- 
eerbaarheid der door het principe van DiRlCHLET bepaalde potenti- 
aalfunctie een tijd lang moeilijk te handhaven. (Vgl. Hilbert, 
Ueber das Dirichlet'sche Prinzip, Jahresber. der Deutschen Mathem. 
Vereinig. Bd VIII, en Mathem. Ann. 59, waar die onbepaald 
voortzetbare differentieerbaarheid toch weer wordt bewezen). 

•*) Voor deze en de vier volgende alinea's vgl. Poincaré, ,,La 
Science et 1' Hypothese", Chap. X. 

88 



eveneens in 't grove slechts in de tweede differenti- 
aalquotientcn iets uitwerkende door ons eigen lichaam 
uitgeoefende invloeden) als vruchtbare hulpbegrip- 
pen konden worden ingevoerd. 

Ook heeft men opgemerkt, geschikte coëfficiënten 
voor lichamen, massa's genoemd, zoo te kunnen invoe- 
ren, dat men dikwijls systemen als wat men noemt 
ongeveer geïsoleerd kan beschouwen, wanneer men 
n.1. opmerkt dat de beweging van het zwaartepunt 
ongeveer rechtlijnig en eenparig is, en in het zwaarte- 
punt een ongeveer invariabele as van maximaal- 
moment der relatieve beweging aan te wijzen is. 

Men heeft daarom in de wiskunde der mechanica 
het beginsel van gelijkheid van actie en reactie inge- 
voerd, en noemt systemen alleen dan geïsoleerd, als 
de beweging van het zwaartepunt streng rechtlijnig 
en eenparig is. En zoowel een mechanica der rigide 
lichamen als een theoretische astronomie blijken 
practisch te beheerschen met een uit de begrippen 
van kracht en massa opgebouwde wiskunde. 

Het essentieele er van ligt gecondenseerd in de Mechanische 
bewegingsvergelijkingen van Lagrange; en het is 
gebleken, dat bijna alle gedeelten der physica, waar 
men met omkeerbare veranderingen te doen heeft, 
zich door analoge vergelijkingen laten beelden. ') 

PoiNCARÉ -) heeft bewezen, dat vooraldieverschijn- 



natuurverkla- 
ringen. 



') terwijl de overige door aanvulling met de principes der 
thermodynamica zijn te beheerschen. 
*) 1. c. Chap. XII. 

89 



selen een verklaring door een rigide mechanisme 
mogelijk is; dat naar zulke interpretaties zoo vaak 
gezocht is, zelfs op zoodanig gebied waar eene andere 
beschouwingswijze gegrond op het bestaan van 
continue en elastische materie meer voor de hand 
schijnt te liggen (men denke bijv. aan de moderne 
gastheorie en aan WilliamThomson's verklaring der 
elasticiteit uit het beginsel der gyrostatische veer), 
heeft waarschijnlijk zijn oorsprong daarin, dat het 
bouwen van rigide constructies en mechanismen den 
menschen het meest vertrouwd is, en dat men de 
rigide lichamen het gemakkelijkst in hun gedrag 
beheerscht ; dat dus het idee, dat de natuur alleen 
rigide mechanismen bouwt, haar mysterie, inzooverre 
zij dingen zou bouwen, die de menschen niet materieel 
zouden kunnen nabouwen, wegneemt ; en ook hierin, 
dat zóó het zeer groote vertrouwen op de onveran- 
derlijkheid der wetten, die de vaste lichamen beheer- 
schen, de illusie, ,,de natuur te kunnen beheerschen," 
versterkt. ') Daar de rigide-mechanische interpreta- 



*) Of is de oorzaak meer, dat een vast lichaam het famihare 
voorbeeld is van een door een eindig aantal coördinaten bepaald 
ding, zoodat op deze wijze in het geheel der mogelijkheden van 
een physisch verschijnsel nooit een willekeurige functie, maar slechts 
een eindig aantal veranderlijken zou optreden ? De nog verder 
gaande consequentie van deze tendens zou zijn, dat nu ook de 
nog overblijvende coördinaten slechts discontinue sprongen zouden 
vertoonen, dus door geheele getallen zouden zijn te bepalen, en 

90 



ties der vergelijkingen van Lagrange echter in het 
algemeen zeer ingewikkeld worden en men even goed 
als tot de rigide groep tot andere, b.v. electrodyna- 
mische verschijnselen zou kunnen herleiden, moet 
men misschien liever alle groepen van verschijnselen, 
die door vergelijkingen van Lagrange worden uitge- 
drukt, als gelijkgerechtigd naast elkander laten staan, 
en een opbouw daarvan uit elementairverschijnselen 
in het zeer kleine verwerpen, waar ze geen suggesties 
tot het ontdekken van nieuwe verschijnselen brengt. 

De waarde der ,, verklaringen" toch ligt niet hierin, waarde der 
dat zii in de plaats van een wonderliik verschijnsel .verkianng-van 

. . j j verschijnselen. 

een minder wonderlijk stellen; noch ook in de eerste 
plaats in de grootere overzichtelijkheid, waarmee 
zij de waargenomen volgreeksen veroorloven te 
katalogizeeren -); maar in de splitsing, die zij het 



de natuur zou slechts de orde van vrijheid van een permutatiegroep 
behouden ; al het in de natuur mogeUjke zou zijn na te bouwen 
door iuxtapositie in ruimte en tijd van een eindig aantal elementen 
in verschillende geoorloofde combinaties, (vgl. hiermee het pag. 85 
opgemerkte). Dat zou de natuur nóg dichter brengen bij de mate- 
rieele gebouwen der menschen, en de beperkte vrijheid in het 
scheppen daarvan gevoeld. 

Natuurlijk zouden ook bij deze opvatting de gebruikelijke con- 
tinue functies der natuurbeschrijving in gebruik blijven ; ze zouden 
hier optreden als benadering van groote getallen met kleine 
discontinue sprongen. 

*) Als zoodanig zijn overigens dikwijls verschillende verklaringen 
even geschikt; men denke b.v. aan de verschillende hypothesen 
omtrent werkingen van stroomelementen op elkander, die de door 

91 



waargenomene doen ondergaan in een essentieel en 
een toevallig gedeelte, en de door die splitsing 
aangewezen richting, waarin het werkelijk waarge- 
nomene tot een grooter gebied van mogelijkheden 
kan worden uitgebreid, dus nieuwe aan regelmaat 
gebonden verschijnselen kunnen worden voorspeld. ') 

M. a. w. een ,, verklaring", die doel treft, opent 
een veld van inductie; is dat veld van inductie 
afgeweid, dan verliest de verklaring haar actueele 
beteekenis; men zal dan van het daarin nog essen- 
tieele een nieuw gedeelte afscheiden, en als toe- 
vallig gaan beschouwen ^), om zich zoodoende een 
nieuw veld van inductie te scheppen. 

Aanleiding en aanwijzing tot de keuze van die 
afscheiding geeft dikwijls de ontdekking, dat twee 
te voren niet als samenhangend bekende, ieder aan 
een eigen regelmaat gebonden, verschijnselgroepen 
onder eikaars invloed kunnen komen, d.w.z. dat ze, 
in elkanders nabijheid gebracht, eikaars isolement 
kunnen storen. Dan zal men trachten, in het wis- 
kundig beeld van elk van beide de essentieele deelen 



Ampère gegevene bleken te kunnen vervangen ; evenmin is het 
uitgesloten, dat de moleculairtheorieën eens andere gelijkgerechtigde 
naast zich krijgen. 

') m. a. vv. in het aanwijzen van de grootheden in het wis- 
kundig beeld der verschijnselen, die als toevallige waarden van 
een veranderlijken parameter kunnen worden beschouwd. 

') Wie gelooft aan realiteit van hypothesen, spreekt hier van : 
„nog dieper op het wezen der verschijnselen ingaan." 

92 



zoo te kiezen, dat deze als twee toevallige modificaties 
van eenzelfde continu gebied van mogelijkheden, en 
dat met zoo groot mogelijk gemeenschappelijk essen- 
tieel element verschijnen. Op deze wijze zijn vaak doel- 
treffende velden van inductie geopend, d.w.z. velden 
van inductie, die vele te voren onbekende verschijn- 
selen met juistheid hebben doen voorspellen. 

Merken we nog op, dat nooit een verklaring, die 
haar diensten bij de uitbreiding door inductie van 
het gebied der bekende volgreeksen heeft gedaan, 
later kan worden gezegd, onjuist te zijn gebleken. 
Immers dan bewijst een démenti der ervaring alleen, 
dat men op grond der verklaring een te groot veld van 
inductie had geopend. En in zulk een geval kan 
men de verklaring steeds redden, door in het er op 
gegronde wiskundig beeld der verschijnselen weer 
het essentieele gedeelte uit te breiden ten koste van 
het reeds als toevallig gestelde. 

En als oorsprong van een zeker veld van inductie 
behoudt zulk een verklaring een historische beteeke- 
nis; maar een hoogere beteekenis is voor geen ver- 
klaring weggelegd. Immers de nieuwe, die in ver- 
vanging der oude een grooter veld van inductie in 't 
leven roept, zal, als de grenzen van dat veld bereikt 
zijn, op haar beurt moeten verdwijnen; want het 
geheel der inductief samengevatte verschijnselen, 
waarin de menschen vermogen gevolgen te voorspellen, 
en uithoofde daarvan met succes in te grijpen, zullen 
zij steeds willen en kunnen uitbreiden. 

93 



Problemen van We gaan thans de klassieke problemen van ruimte 
ruimte en tijd. ^^ ^-^ aanroeren, door in 't algemeen te onderzoe- 
ken, in hoeverre objectiviteit en aprioriteit aan wis- 
kundige systemen kunnen worden toegekend, vragen 
die bij Riemann en Helmholtz nog een belang- 
rijke rol spelen, maar sedert weer uitsluitend van 
philosophen belangstelling ondervonden, en door de 
wiskundigen, die zich met onderzoekingen omtrent 
de grondslagen hunner wetenschap bezighielden, bui- 
ten beschouwing werden gelaten. Eerst in den 
alierlaatsten tijd is een boek verschenen, dat in het 
licht van de jongste resultaten der wiskunde op 
nieuw de genoemde philosophische vragen aan de 
orde stelt, en op dit werk van B. A. W. Russell, 
,,An Essay on the Foundations of Geometry" is dan 
ook algemeen de aandacht gevallen. In de ,, Revue 
de Métaphysique et de Morale" heeft het tot voort- 
gezette discussies aanleiding gegeven tusschen Cou- 
TURAT, PoiNCARÉ, Lechalas en den auteur zelf, 
waarbij de onhoudbaarheid van sommige er in uitge- 
sproken stellingen aan het licht kwam ; maar waarna 
toch aan een groot deel der resultaten blijvende waarde 
bleef toegekend. Couturat spreekt zelfs van een 
xTVKia, elq aet, en van niet minder dan de volmaking 
van Kant's Transcendentale Aesthetiek. 

We zullen hier beginnen, met een eigen stelling 
tegenover het onderwerp in te nemen, en daarna 
op het werk van Russell nader ingaan, door eerst 
op enkele er in voorkomende wiskundige fouten 

94 



de aandacht te laten vallen, en vervolgens te onder- 
zoeken, wat van de totale strekking van het boek 
kan over blijven. 

Vooreerst dus over de objectiviteit: men noemt de Objectiviteit. 
massa der lichamen objectief, en denkt daarbij 
aan haar onvernietigbaarheid ; we hebben echter 
boven gezien, dat de massa's niets zijn, dan door 
hun invoering het wiskundig natuurbeeld vereen- 
voudigende coëfficiënten, die bij de wiskundige 
transformaties, die de natuurverschijnselen afbeelden, 
invariant blijven. Zou men nu echter natuurver- 
schijnselen vinden, die het eenvoudigst zijn af te 
beelden door de massa's variabel te nemen, dan 
zal men deze nog alleen objectief kunnen blijven 
noemen op grond van hun invariabiliteit bij een zeer 
belangrijke groep van verschijnselen in het natuurbeeld ; 
maar men bedenke, dat dit natuurbeeld willekeurig 
zou zijn gekozen, op grond van zijn eenvoudigheid 
en bruikbaarheid weliswaar, maar toch willekeurig ; 
dat men het eenerzijds, zij het geforceerd, zoo had 
kunnen bouwen, dat de massa's bij alle bekende 
verschijnselen invariant blijven, maar andererzijds ook 
zoo, dat ze slechts bij zeer weinig verschijnselen 
invariant blijven of zelfs, dat ze in 't geheel niet 
optreden. 

Men zal dus van objectiviteit (voor grootheden of 
voor wetten) alleen kunnen spreken ten opzichte van 
een bepaald wiskundig natuurbeeld en relatief een 

95 



bepaalde groep van verschijnselen, of, zoo men van 
objectiviteit zonder meer wil spreken, kan men daar- 
mee niet anders bedoelen dan: 

óf invariabiliteit bij een zekere verklaring van alle 
tot nog toe bekende verschijnselen; 

dan zou het echter een eigenschap zijn, die wij 
willekeurig zouden kunnen aanbrengen, zij het onder 
opbouw van geforceerde systemen ; 

óf invariabiliteit bij de eenvoudigste of de meest 
gebruikelijke interpretatie van alle tot nog toe be- 
kende verschijnselen ; 

dan zou het echter een eigenschap zijn, die elk 
oogenblik zou kunnen worden verloren; 

óf invariabiliteit bij de eenvoudigste of de meest 
gebruikelijke interpretatie van een zeer hdangrijkc 
groep van verschijnselen; 

aan deze definitie heeft men het meest houvast, 
en al blijft er een factor van subjectieve appreciatie 
in over, men zal niet aarzelen, op deze wijze b.v. 
massa, energie en Newtonsche attractie objectief te 
noemen; en aan b.v. temperatuur, magnetisatie en 
magnetische attractie objectiviteit te ontzeggen. 

Houden we ons dus aan de laatste definitie, en 
vragen we bijvoorbeeld, in hoeverre de physiscJie tijd 
en ruimte objectief zijn, dan moet het antwoord zijn, 
dat zij deze gradueele eigenschap op zeer volkomen 
wijze bezitten, en misschien volkomener dan eenige 
andere physische entiteit. 

Immers vooreerst de fictieve eendimensionale 

96 



coördinaat, met daarop geconstrueerde eenledige 
groep, die de wetenschappelijke tijdtnaat is, dringt in 
bijna alle wiskundige natuurbeelden in, en wel steeds 
met dezelfde groep, die zoo het cachet van een 
onwrikbare invariant verkrijgt. 

En in nóg sterkere mate geldt dit van de drie- 
dimensionale Cartesiaansche ruimte met daarin ge- 
construeerde zesledige (Euclidische) groep, die de 
physische ruimte is ; omdat alle bekende physische 
verschijnselen zich daarop laten betrekken, en zelfs 
zonder haar de wiskundige projecteering dier verschijn- 
selen buitengewoon moeilijk zou worden, (wat het 
misschien niet te gewaagd is, hiermee in verband te 
brengen, dat die fictieve Euclidische ruimte ont- 
leend is aan de bewegingsgroep der physisch voor- 
komende vaste lichamen, en het die vaste lichamen 
zijn, waarop we voor alle metingen zijn verwezen ; 
waar het dan alleen mogelijk is, grootheden te meten, 
voorzoover ze met vaste lichamen in verband staan, 
behoeft het niet te verwonderen, dat in de wis- 
kundige afbeelding der betrekkingen tusschen die 
grootheden het wiskundig beeld van de bewegings- 
groep der vaste lichamen een zoo integreerende rol 
blijft spelen.) 



Nu de aprioriteii; men kan hiermee twee begrip- Aprioriteit. 
pen bedoelen, n.1. : 

1°. Bestaan onafhankelijk van de ervaring. 



97 



2°. Noodzakelijke voorwaarde voor de mogelijk- 
heid der wetenschap. 

Wordt het eerste bedoeld, dan volgt uit den 
intuïtieven opbouw, dat de geheele wiskunde a priori 
is, en b.v. de niet-Euclidische meetkunde even goed 
als de Euclidische, de metrische meetkunde even goed 
als de projectieve. 

Wordt het tweede bedoeld, dan mogen we, daar 
wetenschappelijke ervaring haar oorsprong vindt in 
toepassing der intuïtieve wiskunde op de werkelijk- 
heid, en er behalve ervaringswetenschap geen andere 
wetenschap bestaat, dan juist alleen de eigenschappen 
van die intuïtieve wiskunde ^), niets anders a priori 
noemen, dan dat eene, wat aan alle wiskunde gemeen 
is, en dat aan den anderen kant toereikend is, om 
alle wiskunde op te bouwen, de intuïtie van veel- 
eenigheid, de oer-intuitie der wiskunde. 

En daar deze samenvalt met de bewustwording 



') Eigenlijk is het gebouw der intuïtieve wiskunde zonder meer 
een daati, en geen ivetcnschap ; een wetenschap, d.w.z. een samen- 
vatting van in den tijd herhaalbare causale volgreeksen, wordt zij 
eerst in de wiskunde der tweede orde, die het wiskundig bekijken 
van de wiskunde of van de taal der wiskunde is: eerst daar be- 
staat causaal verband in de wijze van opvolging der wiskundige 
systemen eenerzijds, en der wiskundige teekens, woorden of be- 
grippen andererzijds ; maar daar, evenals bij de theoretische logica, 
hebben we ook weer te doen met een toepassing der wiskunde, 
met een enmringswetejischap. Men vergelijke in dit verband de 
ontwikkelingen van het derde hoofdstuk. 

98 



van den tijd als verandering zonder meer, kunnen 
we ook zeggen : 

Het cenigc aprioristische clement in de wetenschap is 
de tijd. ') 

Tot het boek van Russell komende, wijzen we 
eerst de volgende onjuistheden aan : 

(We refereeren naar de door den schrijver her- 
ziene Fransche vertaling: B. A. W. Russell, ,,Essai 
sur les Fondements de la Geometrie", Traduction par 
A. Cadenat, revue et annotée par l'auteur et par 
L. COUTURAT. Paris. Gauthier-Villars. igoi.) 

J, Russell tracht aan te toonen, dat het axioma oe ruimte ais 
van Riemann en Helmholtz, dat de ruimte een zahienmannig- 

^y ,-, ■ r ,.- 1 • ,, • 1 . • 1 •• faltigkeit voor- 

,,Zahlenmannigfaltigkeit is, het axioma der vrije onderstelt geen 
bewegelijkheid vooronderstelt. vrije bewege- 

Uit zijn weinig beknopte, op dit punt betrekking 
hebbende, redeneeringen citeeren we de duidelijkst 
geformuleerde gedeelten : 

(§ 62.) ,,Tous les attributs nécessaires de l'espace 
sont présupposés dans tout jugement de grandeur 
spatiale, et ne peuvent, par suite, ètre des consé- 
quences d'un tel jugement." . . . ,,Pour formuler 
les axiomes de la Geometrie métrique on doit se 



lijkheid. 



') Natuurlijk wordt hier bedoeld de intuïtieve tijd, wel te 
onderscheiden van de wetctisc}iappelijke tijd, die, wel zeer a pos- 
teriori, eerst door de ervaring blijkt, als met een eenledige groep 
voorziene eendimensionale coördinaat geschikt te kunnen ingevoerd 
tot het katalogizeeren der verschijnselen. 

99 



poser cette question : Quels axiomes, c'est a dire 
quels attributs de l'espace, faut-il présupposer, pour 
que la comparaison quantitative des portions de 
l'espace soit possible en général?" . . . 

(§ 64.) ,,Si la mesure consiste dans la superpo- 
sition des grandeurs comparées, ne s'ensuit-il pas 
immédiatement que la mesure ne soit logiquement 
possible (jue la oü une telle superpositon laisse les 
grandeurs invariables, et, par suite, que la mesure, 
telle qu'elle a été dófinie ci-dessus, implique, comme 
condition a priori, que les grandeurs restent inva- 
riables dans Ie mouvement?" . . . 

(§ 144.) ,,Ainsi l'on postule, dès Ie début mème, 
un criterium de l'égalité spatiale : sans un tel crite- 
rium, la Geometrie métrique deviendrait tout a fait 
impossible. Il peut sembler, a première vue, que ce 
criterium n'ait pas besoin d'être un axiome, mais 
puisse être une simple définition. Ce n'est cependant 
pas Ie cas." . . . ,,Tout criterium de l'égalité est, 
non pas une définition, mais une proposition qui 
peut être vraie ou fausse." ... ,,I1 s'ensuit que 
1'application du concept de grandeur aux figures de 
l'espace implique l'axiome suivant : Les grandeurs 
spatiales peuvent être déplacées sans déformation.". . . 
,,Si l'on n'admettait pas eet axiome, la Geometrie 
métrique serait incapable d'établir, sans une absur- 
dité logique, la notion d'une grandeur spatiale quel- 
conque." . . . 

(§ i53) Nous avons parlé ci-dessus de la Geometrie 



100 



surun CEuf, qui n'admet pas laLibreMobilité. En quoi, 
peut-on me demander, une Geometrie, qui exclurait 
enticreraent la congruence serait-elle plus impossible 
que cette Geometrie de l'cEuf? La róponse est facile. 
La Geometrie des surfaces non congruentes n'est 
possible que par Temploi des infiniment petits ; or, 
dans rinfiniment petit, toutes les surfaces deviennent 
planes. Si nous n'avions pas notre mesure euclidienne, 
qui peut ctre déplacée satts déformation, nous n'aurions 
aucunc methode pour comparer de petits arcs en dif- 
férents lieux. 

Op de laatste zin heeft nu de weerlegging 
gemakkelijk vat. Immers we kunnen een Cartesiaan- 
sche ruimte opbouwen, daarin willekeurige stelsels 
van oppervlakken als coördinaatvlakken en in elk 
der coördinaten een willekeurige eenledige groep 
als grondslag voor een maatbepaling nemen; ver- 
volgens uit de elementen van coördinaat-toename 
een willekeurige functie als boogelement, en als 
afstand van twee punten hun geodetischen afstand 
definieeren. We behoeven derhalve, om quantiteiten 
in verschillende deelen der ruimte te kunnen ver- 
gelijken, niet een mogelijkheid van verplaatsing 
voor driedimensionale lichamen ten grondslag te 
leggen, maar eenvoudig voor eendimensionale 
draden, en hierbij krijgen we niet eens noodzakelijk 
in het oneindig kleine een meetkunde met vrije 
bewegelijkheid voor lichamen, getuige b.v. de Min- 
kowskische meetkunde, (zie hoofdstuk I, pag. Sg). 

lOI 



denkbaar. 



Een met den 2. § loo zegt de schrijver, dat het ondenkbaar is, 
ruimteconsta^n- ^^^ ^^ ruimtcconstante met den tijd zou veranderen. 
te is zeer goed ,,Cela impHquerait entre l'espace et les autres choses, 
une relation causale qui parait difficilement conce- 
vable et qui, si on la regardait comme possible, 
ruinerait infailliblement la Geometrie, car la Geo- 
metrie repose entièrement sur l'hypothèse que la 
causalité n'a rien a y voir. D'ailleurs, toutes les 
opérations de mesure prennent un certain temps, il 
est difficile de voir comment nos résultats pourraient 
être dignes de foi; et comment par conséquent on 
pourrait découvrir une variation du paramètre 
spatial." 

Bedoelt hij, dat een ruimte met veranderlijke con- 
stante niet denkbaar is, dan kunnen we zeggen: 
Denk maar een bol, die zich uitzet, de vaste lichamen 
daarop deformeeren zich alle op een bepaalde wijze ; 
ten opzichte van elkaar deformeeren ze zich ook, 
maar op elk tijdstip is de deformatie ten opzichte 
van verplaatsing invariant, de rigide groep is dus 
rigide groep gebleven, maar de ruimtcconstante 
voor de verplaatsingsgroep is veranderd. Bedoelt 
hij, dat de empirische ruimteconstante nooit kan 
veranderen, dan is werkelijk waar, dat men zoo iets 
nooit zou kunnen ,, ontdekken", omdat we niets doen, 
dan onze empirische verschijnselen katalogizeeren in 
een door ons zelf geschapen Euclidische ruimte, en we 
die Euclidische ruimte kunnen handhaven onafhan- 
kelijk van de verschijnselen; maar we kunnen even 



102 



goed katalogizeeren in een ruimte, die op elk tijdstip 
een andere kromming heeft. 

Het zijn de waarnemingen met onze astronomische 
instrumenten, die door een voortzetting der gebrui- 
kehjke aardsche EucHdische ruimte indehemelruimte, 
en een verlenging daarin als rechte lijnen van de 
lichtstralen, die onze kijkers treffen, het eenvoudigst 
worden gekatalogizeerd. Maar het is niet uitgesloten, 
dat die waarnemingen voor sterren met zeer geringe 
parallaxis eenvoudiger zouden kunnen worden geka- 
talogizeerd door op den bundel van lichtstraalrich- 
tingen, die uit het waarnemingspunt ontspringen, 
op zeer groote afstanden niet meer tusschen de maat 
langs de stralen en tusschen de stralen de betrekking 
aan te nemen : 

ds, ^ ^ ^ r d0, 

loodrecht r ^ ' 

maar = sin«r. d0 

oizzz sh ctY. d4> 

[x zeer klein, zoodat eerst op zeer groote afstanden 
merkbaar verschil met de formule =z rd4> zou komen), 

of zelfs nog andere betrekkingen, die niet eens 
overal in de ruimte dezelfde constante geven zouden. 
Evenmin is er a priori reden, waarom die ruimte- 
constante, m.a.w. die principale bewegingsgroep, 
niet zou kunnen veranderen, b.v. onder den invloed 

io3 



In den op- 
bouw der meet- 
kunde zijn geen 
cirkelredenee- 
ringen. 



Een meerdi- 
mensionaal con- 
tinuüm is geen 
noodzakelijke 
voorwaarde 
voor de er- 
varing. 



van verschillende systemen van hemellichamen op 
elkaar. En zelfs zou men kunnen zeggen: 

Op het oogenblik, dat de doelmatigheid der con- 
stante « mocht worden ontdekt, wordt de ruimte 
plotseling van Euclidisch niet-EucHdisch; zooals 
PoiNCARÉ zegt, dat de aarde eerst draait, sinds 
CoPERNicus het heeft uitgesproken. 

3. In § io8 staat: ,,Tout raisonnement géométrique 
est, en dernière analyse, un cercle logique : si Ton 
commence par admettre les points, on ne pourra les 
définir que par les lignes ou les plans qui les mettent 
en rapport, et si l'on commence par admettre les 
lignes OU les plans, on ne pourra les définir que par 
les points par lesquels ils passent." Hiervan bewijst 
de eenvoudige opbouw der Cartesiaansche meetkunde 
de onjuistheid. 

4. § i86 — 192 wordt de volgende stelling berede- 
neerd : , ,L'existence de choses diverses, mais en relation 
mutuelle, serait inconnaissable, s'il n'y avait pas, 
dans la perception sensible, quelque forme d'exté- 
riorité", en het essentieele van deze redeneering komt 
neer op het signaleeren van wat wij hebben genoemd 
de oer-intuitie der wiskunde als onmisbaar voor elke 
intellectueele functie. In § 191 in 't bijzonder wordt 
dan echter getracht aan te toonen, dat de tijd alleen 
niet voldoende zou zijn, en wel op grond hiervan, dat 
er geen objecten zouden kunnen worden opgemerkt. 
Wij antwoorden : De eenvoudigste causale volg- 
reeksen die de menschen opmerken hebben werkelijk 



104 



alleen den tijd als eendimensionaal intuitief continuüm 
tot wiskundig substraat ; dat daarbij geen andere 
objecten, d.w.z. in varianten optreden, dan die tijd 
zelf, hindert niet. Objecten komen eerst bij deelen 
der ervaring met meer ingewikkeld wiskundig 
substraat, zooals eerst in wiskundige systemen van 
eenige samengesteldheid invarianten optreden. 

In aansluiting aan laatstgenoemde stelling wordt in 
§ i35 beredeneerd, dat de forme d'extérioritc, die er, 
behalve de tijd, nog als eveneens noodzakelijke voor- 
waarde voor de ervaring zou moeten zijn, en die als de 
empirische ruimte zal moeten voor den dag komen, 
noodzakelijk meer dan één dimensie heeft. ,,En effet, 
dans une forme a une dimension, les divers contenus ne 
peuvent ètre ordonncs qu'en série, et ne peuvent pas 
changer leur ordre dans la série sans se pénétrermutu- 
ellement. Mais cela leur est impossible"... ,, Une forme 
a une dimension ne peut donc pas, par elle-mème, per- 
mettre ce changement des relations d'extériorité, qui 
seul peut nous donner conscience dun monde varié 
de choses en relation réciproque." Waarop wij weer 
antwoorden, dat een dergelijke wereld van objecten 
(choses) voor de ervaring niet noodig is, dat de 
empirische ruimte een willekeurige schepping is, om 
verschillende causale volgreeksen (van meetresultaten), 
tóch met behulp van mathematische inductie onder 
één ge::ichtspunt samen te brengen, en dat de schep- 
ping dier idealiseerende samenvatting van werkelijke 
ervaringen als deel van een fictief geheel van moge- 

io5 



lijke ervaringen, niet meesleept, dat er bij de werkelijke 
ervaringen invarianten voorkomen, die den naam van 
objecten verdienen. 

Het eenige wat in dit verband in de richting van 
Russell's gedachtengang kan worden opgemerkt, 
is dat, zoodra de mathematische inductie in 
het wiskundig ervaringsbeeld optreedt als middel 
tot samenvatting van verschillende volgreeksen, de 
wiskundige oer-intuitie daar tweemaal onafhankelijk 
optreedt op verschillende wijze, wat, zoo we haar 
beide malen als continu in het oog vatten, voert tot 
een meerdimensionaal continuüm; maar het wiskundig 
bestaan van het meerdimensionaal continuüm is onaf- 
hankelijk van de ervaring, en zijn toepasbaarheid op 
de ervaring is a posteriori. 
A fortiori is ^s dus de invoering van een meerdimensionaal 
eenmeerdimen- continuum niet a priori noodzakelijk, nog veel minder 

sionale forme d" ,. .. . , . . ' n 

extériorité zon- ^"^^ ^an een meerdmiensionaal contmuum met zulke 
der meer niet relaties tusschen de elementen, dat het, evenals 
voor^deVr- ^et eendimensionaal intuitief continuum, kan wor- 
varing. den beschouwd als forme d'extériorité zonder meer. 
En het is niet anders dan op grond van deze onjuiste 
meening, dat RusSELL § 129 — l39 de volgende eigen- 
schappen der empirische ruimte als voor de ervaring 
noodzakelijk ontwikkelt, ze aflezend ^) uit het concept 



') Ook deze redeneeringen zelf zijn niet juist; vgl. Poincaré, 
,,Des Fondements de la Geometrie" S 4. Revue de Métaphysique 
et de Morale, 1899. 

106 



van forme d'evtérioriié zo?idcr meer, verwezenlijkt in 
een meerdimensionaal continuüm: 

I. „L'espace est continu et divisible a l'infini ; Ie 
zéro d'étendue, résultant d'une division infinie, est ap- 
pelé point. Tous les points sont qualitativement sem- 
blables, et se distinguent entre eux parleseulfaitqu'ils 
sont extérieurs les uns aux autres." 

II. ,,Deux points quelconques déterminent une 
figure unique, la ligne droite ; deux lignes droites, 
comme deux points, sont qualitativement semblables, 
et se distinguent entre elles par Ie seul fait qu'elles 
sont extérieures l'une a l'autre." 

III. „Trois points non en ligne droite déterminent 
une figure unique, Ie plan, et quatre points non situés 
dans un mème plan déterminent une figure a trois di- 
mensions. Cette progression peut, autantqu'onpeuten 
juger a priori, se prolonger jusqu' a cinq Ou n 
points, sans exclure en aucune maniere la possibilité 
d'une Geometrie projective. Mais la Geometrie pro- 
jective exige, a titre d'axiome, que cette progression 
s'arrète a un nombre de points entier et positif, après 
quoi tout point nouveau doit ètre contenu dans la 
figure déterminée par ceux qui sont déja donnés. Si 
cette progression s'arrète a (n -|- 1) points, on dit que 
l'espace a n dimensions." 

5. Een grove wiskundige fout is verder, de oe projectieve 

j • . 1 11 j- 1 1 i. meetkunde is 

zooeven genoemde axioma s als volledige karakte- J^■^^^ „oodzake- 

riseering der projectieve meetkunde te signaleeren. ^) "ik voor de er- 
varing. 

^) Vgl. POINCARÉ, I. c. S 3- 

107 



Immers de kern der projectieve axioma's, de eigen- 
schappen, dat de ''ruimte door p + 1 punten bepaald, 
elke rechte lijn die er 2 punten mee gemeen heeft, 
geheel bevat, en dat een rechte lijn en een '^~ 'ruimte 
elkaar snijden, ontbreken, en deze volgen niet uit 
de axioma's van Russell. Immers in een Cartesi- 
aansche ruimte kunnen we zooveel stelsels van 
krommen, oppervlakken enz., die aan de projectieve 
axioma's voldoen, bouwen als we willen. En we 
kunnen dan ten slotte als relatie tusschen 2 punten 
de rechte lijn uit een der stelsels, als relatie tus- 
schen 3 punten het platte vlak uit een ander stelsel, 
enz., definieeren ; zoo wordt aan de axioma's van 
Russell voldaan, maar niet aan de projectieve 
axioma's. 

De schepping van het projectieve systeem is 
niet alleen niet noodzakelijk, maar zelfs alles be- 
halve primitief of eenvoudig bepaald, zooals duidelijk 
blijkt uit de in het eerste hoofdstuk pag. 5y sqq. gere- 
sumeerde ontwikkelingen van Hamel, die aantoonen, 
hoe op allerlei verschillende manieren het lineaire 
stelsel kan worden bepaald; welke manieren dan nog 
weer onbepaald te vermenigvuldigen zijn door wil- 
lekeurige uniforme punttransformaties; immers zoo 
blijven de intrinsieke eigenschappen der rechte lijnen 
bij de daaruit door transformatie ontstaande geode- 
tische krommen behouden, zoodat deze steeds een 
transformatiegroep blijven toelaten, met de projectieve 
groep gelijkvormig. 

108 



6. Ook het axioma der vrije bewegelijkheid wordt 
getracht af te lezen uit het concept van forine d'ex- 
tc'rioritc zonder meer. (in 't bijzonder § T43 — iSy.) 

(§ 62) ,,Les conditions de la mesure elles-mcmes 
seront a priori, quoiqu'elles ne dérivent d'aucune 
notion de grandeur, si l'on peut montrer que, sans 
elles, l'expérience d'une extériorité serait impossible." 

(§ 145). ,,Puisque l'espace est une forme d'ex- 
tériorité, il ne peut admettre que des positions 
relatives et non absolues, et il doit ètre complè- 
tement homogene d'un bout a l'autre." 

We zullen de hierop betrekking hebbende rede- 
neeringen, die misschien het zwakste gedeelte van 
het geheele boek vormen, niet nader bespreken ; 
het is natuurlijk duidelijk, dat, wat onjuist is ge- 
bleken voor de projectieve groep, a fortiori niet 
kan gelden voor de nog engere groep der Eucli- 
dische of niet-Euclidische bewegingen. 

We merken alleen op, dat Couturat (kritiek op 
RUSSELL, Revue de Métaphysique et de Morale 1898 
pag. 372 sqq.) van de genoemde stelling een zeer 
juiste consequentie trekt. Russell zegt in § 145: 
,,Puisque l'espace est une forme d'extériorité, il 
ne peut admettre que des positions relatives, et 
non absolues, et il doit ètre complètement homo- 
gene d'un bout a l'autre;" m, a. w. (§ 144): ,,Les 
formes ne dépendent en aucune maniere de la 
position absolue dans l'espace." 

Couturat wijst er dan op, dat waar reden 



De vrije 
bewcgelijkheid 
is niet noodza- 
kelijlt voor de 
ervaring. 



109 



De projectieve 
afstand voor- 
onderstelt geen 

wone" 
stand. 



wordt gevonden, om allen invloed aan de absolute 
orienteering te ontzeggen, evenveel grond moet zijn, 
geen invloed der absolute grootte toe te laten, 
daar in het concept van fortne cT cxtériorité zonder 
meer hoogstens relatieve, maar in geen geval absolute 
quantiteiten kunnen optreden. En hieruit leidt hij 
al, dat niet alleen het axioma der vrije bewegelijk- 
heid, maar ook het parallellenaxioma van Euclides, 
dus de geheele Euclidische meetkunde als a priori 
moet worden beschouwd. 

Tegenover RussELL heeft GouTURAT gelijk, maar 
we herhalen: De forme d'extériorité is alleen in 
één dimensie a priori, en daar treden er niet alleen 
geen absolute, maar zelfs geen relatieve quantiteiten 
in op ; de laatste verschijnen eerst, nadat als een 
willekeurige wiskundige bouw (van zulk een bouw 
is het element, d.i. de oer-intuitie der forme d'exté- 
riorité, onveranderlijk en a priori, maar de wijze 
der aaneenschakeling van de telkens herhaalde toe- 
passingen van de oer-intuitie op het reeds opge- 
bouwde of een deel er van, willekeurig) op het 
eendimensionaal continuüm een eenledig continue, 
uniforme groep is geconstrueerd. 

7. In § 37 wordt getracht de afstanden op een 
rechte lijn als primaire begrippen te handhaven, en 
gezegd, dat de projectieve invoering der afstanden 
volgens Klein uit de quadrilateraal-constructie een- 
voudig willekeurig iets anders als afstand definieert, 
en dat toch nooit kan doen zonder dat vooraf de 



Iio 



voorstelling van wat Russell noemt ,,distance au 
sens ordinaire" reeds aanwezig is. 

We citeeren ter toelichting (pag. 46): ,,Si A, 
B, C sont trois points différents d'une droite, il 
doit exister quelque diffcrence entre les relations 
de A a B et de A a C, car autrement, en vertu 
de l'identité qualitative de tous les points, B et C 
ne pourraient ètre distingués l'un de l'autre; mais 
une telle différence implique, entre A et B, une 
relation qui soit indépendante des autres points de 
la droite ; car si l'on n'avait pas une telle relation, 
les autres points ne pourraient apparaitre comme 
différents. Donc, avant de pouvoir distinguer les 
deux points fixes qui servent de base a la définition 
projective, il faut déja supposer qu'il existe, entre 
deux points quelconques de notre droite, une cer- 
taine relation indépendante des autres points, et 

cette relation est la distance au sens ordinaire" 

,,La distance, au sens ordinaire, reste une relation 
entre deux points, et non entre qiiatre". 

Hierbij is uit het oog verloren, dat men zich 
zeer goed een continuüm kan voorstellen, zonder 
nog daarop ,, grootheden" te kunnen vergelijken. 
Dat kan men eerst, na preferentie te hebben gege- 
ven aan een willekeurige eenledige groep. (In § 178 
roert trouwens Russell zelf dit onderscheid tus- 
schen ,, intensieve" en ,, extensieve" grootheden aan, 
en hij heeft er later den nadruk op gelegd in zijn 
,,Principles of Mathematics"). Verder is het fout, om 

III 



den lineairen afstand een relatie tusschen twee pun- 
ten te noemen; hij kan niet anders optreden dan 
in verhoudingen tusschen twee afstanden, dus in be- 
trekkingen tusschen minstens ö?m punten. Zoo leert 
hem ook inzien de eenledige groep, waarmee elke 
schaal, dus ook elke afstandsbepaling gelijkwaardig is. 

Resultaten 8. In § 46 wordeu de resultaten van Lie foutief 

van LiE. weergegeven. Er staat n.1.: 

,,Dans la Geometrie a deux dimensions, si la 
libre mobilité a lieu dans tont l'cspace, il n'y a 
pas de groupe qui satisfasse aux trois premiers 
axiomes de Helmholtz, excepté ceux qui donnent 
les mouvements euclidiens et non-euclidiens ordi- 
naires; mais si elle a seulement lieu d Vintérieur 
d'tme certahie région, il y a encore un groupe pos- 
sible oü la courbe décrite par un point quelconque 
en rotation n'est pas fermée, mais forme une spirale 
logarithmique. L'axiome de la Monodromie de 
Helmholtz est nécessaire pour exclure cette 
possibilité." 

Maar zoo is het niet. Als de vrije bewegelijkheid 
over de geheele ruimte O nioet plaats hebben, komen 
niet meer alle Euclidische en niet-Euclidische bewe- 



*) Lie bedoelt de volledige projectieve ruimte, en daar hebben 
de Euclidische en hyperbolische groepen hun fundamentaalkegel- 
snede als onbereikbare punten, en zulk een onbereikbaar punt 
mist de eigenschap, dat als het met een willekeurig lijnelement 
er door wordt vastgehouden, dat dan het geheele vlak vaststaat. 

112 



gingen in aanmerking, alleen de niet-Eaclidische 
elliptische groep. (vgl. Lie, „Ueber die Grundlagen 
der Geometrie," Leipziger Berichte 1890, pag. 289). 

De eisch van vrije bewegelijkheid over de 
geheele ruimte kan dus niet dienen, om de Eucli- 
dische en niet-Euclidische bewegingen te behouden, 
en de spiraalgroep uit te sluiten. Men moet als 
eisch nemen, óf dat de pseudocirkels hun middel- 
punt niet mogen bevatten (ook niet als grenspunt), 
óf het monodromie-postulaat van Helmholtz. 

Verder staat er: 

,,Si dans la Geometrie a trois dimensions la 
libre mobilité, dans la région spécifiée, a lieu seu- 
lement pour chaque point de position générale, tandis 
que, si l'on fixe un point, les points d'une certaine 
ligne ne peuvent se mouvoir que sur cette ligne, 
et non sur une surface ; dans ce cas d'autres 
groupes sont possibles et ne peuvent être exclus 
que par Ie quatrième axiome de Helmholtz," 

Het resultaat van LiE komt echter neer op: ,,et 
ne peuvent ètre exclus même par Ie quatrième axiome 
de Helmholtz." 

We komen tot de totale strekking van het werk, 
die bedoelt, het standpunt van Kant ten opzichte 
van de aprioriteit in de ervaring te rectificeeren, en 
op de hoogte van den tijd te brengen. 

Kant verdedigt omtrent de ruimte de volgende Hetstandpunt 
stelling : ^a" kant. 

8 Il3 



De voorstelling van een uitwendige wereld door 
middel van een Euclidische driedimensionale ruimte 
is van het menschelijk intellect een onveranderlijk 
attribuut; een andere voorstelling van een uitwen- 
dige wereld bij dezelfde menschen is een contra- 
dictore onderstelling. 

Kant bewijst zijn stelling ') als volgt: 

Van de empirische ruimte merken we twee din- 
gen op: 

1°. wij krijgen geen uitwendige ervaringen, dan 
geplaatst in de empirische ruimte, en kunnen ons 
die ervaringen niet los van de empirische ruimte 
denken (1. c. onder (1) en (2)); 

2°. voor de empirische ruimte geldt de Eucli- 
dische driedimensionale meetkunde (1. c. onder (3)), 

waaruit volgt, dat de Euclidische driedimensionale 
meetkunde noodzakelijke voorwaarde voor alle uit- 
wendige ervaringen en het eenig mogelijke recep- 
taculum voor de voorstelling eener uitwendige wereld 
is, zoodat de eigenschappen der Euclidische meet- 
kunde synthetische oordeelen a priori voor alle uit- 
wendige ervaring moeten worden genoemd. 

De beide praemissen betoogen in zekeren zin 
(die meer dan de door ons pag. 96 bedoelde om- 
vat) de objectiviteit, eerst van de empirische ruimte 
zonder meer, zonder welke geen uitwendige ervaring 
heet te kunnen worden gedacht, (hiermee wordt 



^) Kritik der reinen Vernunft, ed. kehrbach, pag. 50 — 52. 
114 



waarschijnlijk niet meer dan een Cartesiaansche 
driedimensionale ruimte bedoeld), en vervolgens van 
de daarin geconstrueerde Euclidische bewegingsgroep . 
Maar er kan direct tegen worden ingebracht, dat wij 
onze ervaringen krijgen los van alle wiskunde, dus 
ook van alle ruimtevoorstelling; wiskundige classi- 
ficatiën van groepen van ervaringen, dus ook de 
schepping der ruimtevoorstelling, zijn vrije daden van 
het intellect, en wij kunnen naar verkiezing onze er- 
varingen op die katalogizeering betrekken, of on wis- 
kundig ondergaan. 

Beslist onwaar is dus ook de toevoeging bij de 
eerste praemisse, dat we de bekende uitwendige 
ervaringen niet kunnen denken los van de ruimtevoor- 
stelling. En de conclusie, die de aprioriteit der Eucli- 
dische driedimensionale meetkunde hoofzakelijk op die 
toevoeging grondt, moet mede worden verworpen. 

Maar zelfs de praemissen van Kant aanvaardende, 
kunnen we tegen de conclusie aanvoeren : kan 
dan het menschelijk intellect niet even goed geor- 
ganiseerd zijn, om in andere receptacula de voor- 
stelling eener uitwendige wereld te plaatsen, zonder 
dat nochtans dit i7i de praktijk voorkomt; b.v, omdat 
er weinig resultaat mee is te bereiken, en dus het 
vermogen daartoe weinig wordt geoefend? De em- 
pirische vaste lichamen zijn de eenige, waarop zich 
het menschelijk meetinstinct kan werpen ; dit ver- 
klaart dat langzamerhand de bewegingsgroep dier 
vaste lichamen het schema der menschelijke verstand- 

Ii5 



yan RUSSELL. 



houding over meetresultaten geworden is, maar dat 
nu de virtuositeit in het betrekken van verschijn- 
selen der ervaringswereld op dat schema zeer 
groot is, sluit niet uit, dat men zich kan oefenen, 
om andere schema's (b.v. meerdimensionale en 
niet-Euclidische ruimten) niet alleen te bouwen, 
maar ook er zijn ervaringen op te betrekken. Het 
uitwendige ervaringen ondergaande menschelijke 
intellect kan zich, zoo dat het geval is, dus zeer 
goed van de Euclidische driedimensionale meetkunde 
losmaken. 
Het standpunt Dit laatstc is ook de meening van Russell, 
maar als noodzakelijke eigenschappen van het recep- 
taculum wil hij behouden de eigenschappen der projec- 
tieve meetkunde en het axioma der vrije bewegelijk- 
heid, zoodat alleen nog keuze zou blijven voor de 
Euclidische, hyperbolische en elliptische geometrieën 
van een zeker aantal dimensies. 

En dan verder is zijn opvatting, dat, al is het 
menschelijk intellect tot deze verschillende geometrieën 
georganiseerd, de ervaring leert, dat alleen de Eucli- 
dische driedimensionale meetkunde voor de toevallig 
gegeven werkelijkheid kan dienen, waarvoor zen.1. 
bij hooge benadering ,,waar" zou zijn. (vgl. b.v. 
§ 209 pag. 253.) 

We hebben boven aangewezen, hoe Russell de 
eerste dezer beide stellingen afleidt: 

voor de projectieve meetkunde uit den foutieven 
eisch van meer dan één dimensie voor het wiskundig 

116 



substraat der ervaring, en de onjuiste uitbreiding 
over de uit meerdere dimensies gebouwde ruimte 
van de voorwaarden, waaraan moet voldoen een 
fornie d'exiériorité zonder meer. 

voor de metrische meetkunde uit de willekeurige 
invoering der meetbaarheid (wat alleen kan geschie- 
den door den bouw van een groep, zooals hier in 
het eerste hoofdstuk is aangegeven, en wat voor de 
ervaring niet een bestaansvoorwaarde is) en dan 
verder weer uit de onjuiste uitbreiding tot ruimten 
met meer dimensies van eischen, die alleen voor één 
dimensie gerechtvaardigd zijn. 

En wat de tweede stelling betreft, er is niet een 
bepaalde empirische ruimte: wij kunnen alle ver- 
schijnselen katalogizeeren in elke ruimte, met zooveel 
dimensies als we willen, zoo bizar gekromd als we 
willen, dus ook zonder vrije bewegelijkheid. Erva- 
nngswetenschap is gebonden aan wiskunde, maar 
dwingen tot de keuze van een bepaald wiskundig 
systeem kan de ervaring nooit. 

De Euclidische driedimensionale meetkunde is een 
zesledige groep, waarin zich de beweging der 
empirische vaste lichamen in onze onmiddellijke 
omgeving met zeer groote benadering laat weergeven, 
en daar verder van de verschijnselen der natuur, die 
de menschen bestudeeren, vaak een substraat in de 
bewegingsgroep der empirische vaste lichamen gemak- 
kelijk onder wetten is te brengen (wat dan als in de 
praktijk meest geschikte manier geschiedt volgens met 

117 



behulp dier groep geconstrueerde empirische krom- 
men, die men rechte lijnen noemt, en op de rechte 
lijnen geconstrueerde schalen, die men afstandsschalen 
noemt), en zoo dienstig is als middel om voor vele 
doeleinden die verschijnselen te beheerschen, konden 
voor techniek en natuurkunde bruikbare meetwerk- 
tuigen worden geconstrueerd, waaraan de empirische 
vaste lichamen ten grondslag liggen, en werd de Eucli- 
dische meetkunde, dat is de Euclidische wiskundige 
groep de grondslag voor de verstandhouding der 
menschen over alle verschijnselen der ervaringswereld. 
De Euclidische meetkunde is een door geregeld 
gebruik onder de menschen zeer algemeen handelbaar 
geworden gebied der wiskunde, maar het is zeer 
goed denkbaar, dat bij dezelfde organisatie van het 
menschelijk intellect een ander wiskundig gebouw 
deze populariteit zou hebben verkregen. 

Resumecring Ons Standpunt resumcerendc ten opzichte van 

van het verband ^^ beide hoofdpuuten van Kant's Transcendentale 

tusschen wis- • i • i 
kunde en erva- Aestnetiek : 

•■'"s- a). Ten opzichte van het otiafscheidelijk verbondene 

aan de uitwendige ervaring: Niet alleen bestaat, zooals 
pag. 98 is gezegd, de wiskunde onafhankelijk van 
de ervaring, maar ook is alle ervaring onafhanke- 
lijk van alle wiskunde. Geen enkel wiskundig systeem 
wordt door ons mèt onze ervaringen passief onder- 
gaan ; niet eens de tijdcoördinaat, niet eens het 
maatlooze tijdcontinuum. 

118 



b). Ten opziditc van noodzakelijk optreden in hei 
wiskundig rcceptaculum der ervaring: Die noodzakelijk- 
heid bestaat alleen voor de wiskundige oer-intuitie, 
daar het wiskundig receptaculum der ervaring aan 
geen andere beperking onderhevig is, dan de wis- 
kunde zelf, en deze ontwikkelt zich uit haar oer- 
intuitie in een door vrije willekeur geleide zelfver- 
menigvuldiging; de eenige synthetische oordeelen 
a priori voor de uitwendige ervaring, en tevens de 
eenige synthetische oordeelen a priori in het algemeen 
zijn dus die welke worden afgelezen als wiskundige 
bouw-mogelij kheden op grond van de oer-intuitie van 
tijd of van veeleenigheid, m.a.w. worden afgelezen 
als mogelijkheden van puntsy sternen op het con- 
tinuüm. ^) 

Men kan dus als zulke oordeelen noemen: 

1°. de mogelijkheid zelf van wiskundige synthese, 
van het denken van veeleenigheid, en van de her- 
haling daarvan in een nieuwe veeleenigheid. 

2". de mogelijkheid van tusschenvoeging, (dat 
men n.1. als nieuw element kan zien niet alleen het 
geheel van twee reeds samengestelde, maar ook 



') Men trachte echter niet, die oordeelen aan de wiskunde of 
aan de ervaring ten grondslag te leggen: ze zijn het gevolg van 
wiskundig bekijketi der oer-intuitie, vooronderstellen dus de oer- 
intuitie zoowel in het bekijken als in het bekekene; ze behooren 
tot wat we in het volgende hoofdstuk zullen noemen wiskunde 
der tweede orde. 

119 



het bindende: dat wat niet het geheel is, en niet 
element is.) 

3**. de oneindige voortzetbaarheid. (axioma van 
volledige inductie). 

De ervaring a posteriori kan omtrent het nood- 
zakelijk optreden van bepaalde wiskundige systemen 
in de erwa.Tingswetenschap niets leeren. 



I20 



■ 




c 




d 




■*-> 


• • 


10 


(U 




2 


'v3 


13 




^ 






13 


c 


■M 


o 


J3 




ü 


u 


"n 


- 




Ic 


> 
O 


4) 




JU 


♦-> 




^ 


c 


'.^ 


o; 






4) 




tUD 


J 


Ui 

o; 

> 


1-1 

w 

CAI 




C/J 


ni 


D 


S « 


t) 




JU 


C 


ü 


o; 


in 






H 


4) 


J<5 


^3 


< 




^ 


^ 






c 


'S 


rt 


> 


> 



0) <L) 

»-H -1-1 

S c 






en 

tn 



8 

.'S» 

•C 

Si 
SS 



ö 




Et; 




</i 




"h 




z 


-vl 


< 


« 


1^ 


s 


.s 


•^ 


'S» 


5S 




^ 




"o 



4i' 



s ■5: 






'a 



V «j 'il 



Lm 

-O 


s 


*-* 




<J 


'S 

l-l 


44 

11 
ca 

J3 






ctS 


«-« 




'^ 


(U 


%-» 






V 


c^ 


"o 





s 


rt 


3 


'iJi 




c 




s 

s 


'O 


Ui 

:0 


'w 




c 







-5 


4; 


(J 



t> 4J t3 



T5 


c 


+-* 


4) 


'5 


CM 






jü 


_o 


• ^ 


rt 


<-• 





r^ 


rt 













c3 


'O 
3 


'5ï 


C 


0) 


4> 

s 


4) 

T3 


-o 


C 




-5 


4J 



•^P IJ C 

■^ "^ '5 

"S C > 

5 rt •- 

«42 c 

O g 5 



SC 



ïi § i; 

t: ^ ■« 

4) * 3 

O c a. c 

o •- 4J •- 

Z CU 4) rt 

O £ > 



• M 


IA 


i/i 




'> 


^ 


.s 


•^ 


v»^ 


c- 


1m 


C 


4J 


U 


c 


T3 


4J 


4> 




-3 


"C 




C 



41 3 



^ .i: 



ut 
4> 

'c 



■3 


4> 

ba 

4> 




4) 




c 
.£ 


c 
4; 

4) 

'4~' 


c 
5 


c/i 



4) 
4; 


4J 
J2 


3 






c 

4) 

g 


s 

3 


5 


►J 


'■C 


41 


W 


4J 


* 




•-" 




tJ 
4; 




X) 


4> 


ri 

C 


-5 

4) 


11 

4) 

•0 


'm 




o. 


4J 

-G 

*-* 


■53 
2^ 


4> 

-O 


■•5 

11 




T3 
_4) 


■4-' 

'S 


4) 

f— 


«3 

s 



4) 4> "O 

u. M — > 



■0 


c 


-^ 




<ü 


■3 


41 




«^ 


1-. 










4» 


_o 




C/ï 










OJ 

c 



4-rf 




j5 


c3 




"Ö 






3 


'55 




CA 






4> 
TJ 

1-^ 


G 



T3 4) 



c 

> 


C 
ei 

> 


rj 




11 




TS 


4) 


^ 




TS 




p 




"ï 




c 

2 




Só 


U) 


"u 








'5 


(« 








0. 


CTS 

S5 


C 
4) 




a 


tuj 





P 


■*-* 





c 




c 


** 


(J 




'S 


• — - 






4> 


y^v 


<a 


rt 




4-* 




X! 


> 




4J 


W 


"3 




u. 




-O 


r- 




t) 



121 



III. 



WISKUNDE 
EN LOGICA. 



We willen toonen, dat de wiskunde onafhankelijk wiskunde 
is van de zoogenaamde logische weiten, (wetten van ^^„"o'^jca''^''^'* 
redeneering of van menschelijk denken). Dit schijnt 
paradox, want wiskunde wordt gewoonlijk gesproken 
en geschreven als bewijsvoering, afleiding van eigen- 
schappen, en in den vorm van een aaneenschakeling 
van syllogismen. Maar de voorstellingen, die door 
de daarbij gebruikte woorden worden gewekt, bestaan 
hierin, dat, waar wiskundige dingen worden gegeven 
door hun relaties met een gedeelte van de enkelvoudige 
of samengestelde deelen van een wiskundig gebouw, ') 
men door een reeks van tautologieën *,), de gegeven 
relaties vervormt en trapsgewijs voortschrijdt naar de 
relaties van het ding met andere deelen van het gebouw. 

De bewijzen, die we in het eerste hoofdstuk van de 
allereerste stellingen der wiskunde gaven, bestonden in 



') d. vv. z. dat men tot den bouw van het ding in kwestie komt in 
samenhang met die deelen waartoe het wordt gezegd, in relatie te staan. 

2) d. w. z. wisseling in de ondergroepeeringen, die men in een- 
zelfde wiskundig systeem in 't oog vat. 

125 



het leeren lezen van die stellingen als tautologieën. Dat 
in meer gecompliceerde gevallen een stelling niet direct 
duidelijk is, maar eerst na een reeks van tautologieën 
wordt ingezien, bewijst alleen, dat wij onze gebouwen 
ingewikkelder bouwen, dan we in eens kunnen overzien. 
Er is een bijzonder geval, waar de aaneenscha- 
keling van syllogismen een eenigszins ander karak- 
ter heeft, dat aan de gewone logische figuren meer 
nabij schijnt te komen, en werkelijk het hypothetische 
oordeel der logica schijnt te vooronderstellen. Dat is, 
waar een gebouw in een gebouw door eenige relatie 
wordt gedefinieerd zonder dat men daarin direct het 
middel ziet het te construeeren. Het schijnt, dat men 
daar onderstelt dat het gezochte geconstrueerd was, 
en uit die onderstellingen een keten van hypothetische 
oordeelen afleidt. ^) Maar meer dan schijn is dit niet; 
wat men hier eigenlijk doet, bestaat in het volgende: 
men begint met een systeem te construeeren, dat aan 
een deel der geëischte relaties voldoet, en tracht 
uit die relaties door tautologieën andere af te leiden 
zóó, dat ten slotte de afgeleide zich met de nog 
achteraf gehoudene laten combineeren tot een 
stelsel voorwaarden, dat als uitgangspunt voor de 
constructie van het gezochte systeem kan dienen. Met 



*) Men denke hier b.v. aan de uniciteitsbewijzen voor transformatie- 
groepen met gegeven eigenschappen van Hilbert en LiE; of ook 
aan gewone elementaire werkstukken, als het zoeken van een gemeen- 
schappelijk harmonisch paar, of de werkstukken van Apollonius. 

136 



die constructie is dan eerst bewezen, dat werkelijk 
aan de voorwaarden kan worden voldaan. 

,,Maar", zal de logicus zeggen, ,,het had ook 
kunnen zijn, dat bij de redeneeringen een strijdig- 
heid tusschen de afgeleide en de nog wachtende 
voorwaarden was voor den dag gekomen, en die 
strijdigheid wordt toch waargenomen als logische 
figuur en bij het inzicht van de strijdigheid steunt 
men op het principium contradictionis." Waarop 
kan worden geantwoord : , , De woorden van uw 
wiskundig betoog zijn slechts de begeleiding van 
een woordloos wiskundig bouwen, en waar gij de 
strijdigheid uitspreekt, merk ik eenvoudig, dat het 
bouwen niet verder gaat, dat er geen plaats is te 
vinden in het gegeven grondgebouw voor het op- 
gegeven gebouw. En waar ik dat merk, denk ik 
aan geen principium contradictionis. 

Is dus de wiskunde niet afhankelijk van de logica, Logica is af- 
de logica is wèl afhankelijk van de wiskunde : 
vooreerst het intuïtief logisch redeneeren is dat bij- 
zondere wiskundige redeneeren, dat overblijft, als 
men bij het bekijken der wiskundige systemen zich 
uitsluitend beperkt tot relaties van geheel en deel; 
de beschouwde wiskundige S3'stemen zelf dragen 
in geen opzicht een speciaal elementair karakter, 
dat een prioriteit van logisch redeneeren ten opzichte 
van gewoon wiskundig redeneeren zou kunnen wet- 
tigen. Men zou kunnen aanvoeren: De relatie 
opvolger zijn van, die het redeneeren in de eigen- 

127 



Iiankelijk van 
wisi<unde. 



lijke wiskunde beheerscht, treedt in de wiskunde van 
het logisch redeneeren nog niet op. Dan dient geant- 
woord : Die relatie treedt weliswaar niet meer expliciet 
op, maar ze is er zoo goed als in alle wiskunde 
voorondersteld; immers ze vergezelt alle wiskundige 
opbouw, hoezeer ze ook na het beëindigen van den 
bouw bij zekere relaties tusschen de elementen niet 
meer als zoodanig duidelijk in het oog springt. 

Van het wiskundig bouwen en redeneeren, en in 
het bijzonder van het logisch redeneeren, dat de 
menschen bij zichzelf doen, trachten ze door middel 
van klanken of teekens bij andere menschen copieën 
te doen oprijzen, of ook hun eigen herinnerings- 
vermogen te hulp te komen. Zoo ontstaat de wis- 
kundige taal, en als bijzonder geval hiervan de taal 
der logische redeneeringen. ') 

Voor welke wiskundige begrippen men een klank- 
beeld of schriftteeken zal scheppen, om er aan te 
laten beantwoorden, deze keuze zal zoo ekonomisch 
mogelijk rekening houden met de meest gebruikelijke 
wiskundige systemen en wijzen van redeneering ; 
ze zal dus in 't algemeen in elk milieu verschillend 



') Dat men ook bij wiskunde, waar aan geen relaties van geheel en 
deel wordt gedacht, dikwijls voor de mededeeling door woorden aan 
anderen, de gedachte relaties ovworvit tot relaties van geheel eti deel, 
zoodat de gebruikelijke taal der algemeene wiskunde doortrokken is 
van de uitdrukkingswijze der logische redeneeringen, is slechts toe te 
schrijven aan de eeuwenoude traditie der logische termen in de taal, 
in verband met haar beperkten woordenvoorraad. 

128 



zijn. En in het bijzonder: welke gedeelten der wis- 
kunde een taal zullen krijgen niet alleen bij de wiskun- 
digen van beroep, maar ook in het dagelijksch leven, 
dit zal voor elk volk weer op nieuw er van af han- 
gen, welke gedeelten der wiskunde als leiding voor 
het levensgedrag of als middel tot verstandhouding 
daarover er de meeste toepassing hebben gevonden. 

Het is dus zeer goed denkbaar, dat bij dezelfde 
organisatie van het menschelijk intellect, dus bij de- 
zelfde wiskunde, een andere taal van verstandhouding 
ware ontstaan, waarin voor de ons bekende taal der 
logische redeneeringen geen plaats zou zijn. En waar- 
schijnlijk zijn er nog wel buiten het cultuurverband 
levende volken, waarbij dat werkelijk het geval is. 
En evenmin is voor de taal der cultuurvolken uitge- 
sloten, dat in een verder ontwikkelingsstadium de 
logische redeneeringen er hun plaats zullen verliezen. 

Nu hebben de menschen, die alles wiskundig 
willen bekijken, dat ook gedaan met de wiskundige 
taal, en wel in vroeger eeuwen steeds uitsluitend met 
de taal der logische redeneeringen: de hieruit voort- 
gekomen wetenschap is de theoretische logica. 

Eerst in de laatste twintig jaren (de vroegste sporen 
gaan overigens tot op Leibnitz terug) is men de 
wiskundige taal in het algemeen op dezelfde wijze 
gaan bekijken: hierin bestaat, voor zoover ze zonder 
zelfoverschatting wordt beoefend ^), de logistiek. 



') vgl. pag. 159 sqq. De totnogtoe uitgewerkte systemen van 
9 ^29 



Zoowel theoretische logica als logistiek zijn dus em- 
pirische wetefischappen, en toepassingen der wiskunde, die 
omtrent de organisatie van het menschelijk intellect 
nooit iets zullen kunnen leeren, en nog eerder tot deethno- 
graphie.dan tot de psychologie, moeten worden gerekend. 

En de taal der logische redeneeringen is zoo min 
een toepassing van de theoretische logica (waarvan zou 
overigens in dat geval de taal der theoretische logica 
zelf een toepassing zijn?) als het menschelijk lichaam 
een toepassing der anatomie is. 

Beschouwen we tot toelichting het klassieke 
syllogisme: 

Alle menschen zijn sterfelijk. 
Socrates is een mensch. 
ergo: Socrates is sterfelijk. 

De gedachten door deze woorden geaccompag- 
neerd zijn de volgende: 

Ten grondslag ligt de projecteering in de aanschou- 
wingswereld van een wiskundig systeem, n.1. een 
groep van een eindig aantal elementen, ,, subjecten", 
elk verbonden aan geen of een of meer uit een 
groep van een eindig aantal andere elementen (,,prae- 
dicaten"). Het blijkt dat het gelukt, in het men- 
schelijk intellect een deel der aanschouwingswereld 



logistiek beschouwen een wiskundige taal die een overmatig ge- 
bruik maakt van de woorden der theoretische logica, en die soms, 
waar dat overmatig gebruik voerde tot een ongeoorloofd gebruik, 
wiskundige dwalingen heeft in het leven geroepen. 

i3o 



bij benadering op zoo'n systeem te projecteeren. 

Nu, en in zoo'n wiskundig systeem is het een wis- 
kundige tautologie, dat als alle elementen met het prae- 
dicaat ,,mensch" een deel zijn van die met het praedi- 
caat ,, sterfelijk", dat dan het element ,,Socrates" uit 
de eerste groep, ook deel uitmaakt van de tweede 
groep. We hebben hier een der allereenvoudigste vor- 
men van wiskundige redeneering, dat is van door 
tautologie overgaan van de eene relatie op de andere. 

Gaat men evenwel de woorden, die deze primitieve 
wiskunde begeleiden, bekijken, dan kan men er 
wiskundig een verrassend mechanisme van een niet 
a priori duidelijke regelmatigheid in zien, m.a.w. 
men kan op die woorden een nieuw eenvoudig 
wiskundig systeem projecteeren, waarover sprekende 
men de theorie van het syllogisme uiteenzet. Maar de 
hier van kracht zijnde wiskundige systemen be- 
hooren tot de allereenvoudigste, hebben dus voor 
hun bekendheid de logica niet noodig. 

Was in het syllogisme nog een wiskundig element 
te onderkennen, de stelling: 

Een functie is óf differentieerbaar óf niet differen- 
tieerbaar 

zegt niets; drukt hetzelfde uit, als het volgende: 

Als een functie niet differentieerbaar is, is ze niet 
differentieerbaar. 

Maar de woorden van eerstgenoemde volzin be- 
kijkend, en een regelmatig gedrag in de opvolging 
der woorden van deze en van dergelijke volzinnen 

I3i 



ontdekkend, projecteert de logicus ook hier een wis- 
kundig systeem, en noemt zulk een volzin een toe- 
passing van het principe van tertiuni non datur. 

We leggen er verder den nadruk op, dat het 
syllogisme en de verdere logische principes kunnen 
worden gerekend te gelden voor de taal der logische 
redeneeringen, die handelen over eindige element- 
groepen, of aftelbaar oneindige, of gebieden binnen 
continua, maar in elk geval uitsluitend over wiskundig 
opgebouwde systemen; de overtuiging van de betrouw- 
baarheid hunner toepassing steunt op de zekerheid, dat 
het wiskundig opbouwbare systemen zijn, waarover 
wordt gesproken. En wanneer het gelukt /aa/gebou wen 
op te trekken, reeksen van volzinnen, die volgens de 
wetten der logica op elkaar volgen, uitgaande van 
taalbeelden, die voor werkelijke wiskundige gebou- 
wen, wiskundige grondwaarheden zouden kunnen 
accompagneeren, en het blijkt dat die taaigebouwen 
nooit het taalbeeld van een contradictie zullen kunnen 
vertoonen, dan zijn ze toch alleen wiskunde als taai- 
gebouw en hebben met wiskunde buiten dat gebouw, 
bijv. met de gewone rekenkunde of meetkunde niets 
te maken. 

Dus in geen geval mag men denken, door middel 
van die taaigebouwen iets van andere wiskunde, 
dan die direct intuïtief op te bouwen is, te kunnen 
te weten komen. En nog veel minder mag men 
meenen, op die manier de grondslagen der wiskunde 
te kunnen leggen, m.a.w. de betrouwbaarheid der 

l32 



wiskundige eigenschappen te kunnen verzekeren. 
We gaan er toe over, op grond van boven- 
staande overwegingen achtereenvolgens nader te 
bespreken : 

1**. De grondvesting der wiskunde op axioma's. 
2°. De theorie der transfinite getallen van Cantor. 
3°. De logistiek van Peano-Russell. 
4". De logische grondslagen der wiskunde volgens 

HiLBERT. 

Ad 1°. 

Het klassieke voorbeeld is hier de meetkunde Deverbcterim- 
van EuCLiDES Dat het als logisch taaigebouw ^^" "p ^^^"' 
onvolkomen is, dat n.l. stilzwijgend hier en daar 
niet genoemde axioma's worden ingevoerd, is door 
de nieuwere onderzoekingen van Pasch, Schur, 
HiLBERT, Peano, Pieri e. a. overtuigend aange- 
toond, maar het systeem in dat opzicht te perfec- 
tionneeren, heeft dezen wiskundigen weinig moeite 
gekost. Daarnaast hebben zij, en vooral Hilbert, 
zich onledig gehouden, taaigebouwen van patholo- 
gische geometrieën te construeeren, om aan te too- 
nen, welke eigenschappen (d.w.z. volzinnen, die 
voor de Euclidische meetkunde meetkundige eigen- 
schappen uitdrukken) wèl, en welke niet behouden 
blijven, wanneer men een deel der axioma's laat 
vallen (hierin de voetsporen drukkend van Lobat- 
CHÉFFSKY, die onderzocht, wat van het logische 
gebouw van Euclides overblijft, als men zijn paral- 

i33 



lellen-axioma vallen laat ') ). In het bijzonder stelden 
zij zich ten doel, voor elk der zoo geconstrueerde 
logische gebouwen de benoodigde axioma's tot een 
minimum te beperken. Zoo heeft Hilbert voor 
de meeste in zijn Festschrift opgestelde axioma's 
aangetoond, dat zij niet kunnen weggelaten worden, 
zonder dat de meetkunde daardoor een deel van 
haar eigenschappen verliest. ^) 

We moeten echter opmerken, dat het verwijt van 
onvolledigheid tegen EucLiDES vervalt, als hij zich 
zijn wiskundig gebouw der Euclidische meetkunde, 
reeds a/ voorstelde (als een Cartesiaansche ruimte met 
een bewegingsgroep), en zijn redeneeringen alleen 
dienen als begeleiding bij het uit duidelijk geziene 



*) Ook al is uit de berekeningen van Lobatcheffsky, vooral 
voor het platte vlak op vrij eenvoudige wijze, wel een bestaansbewgs 
aan te brengen, en is het niet onmogelijk, dat hij zelf dat er in 
heeft willen zien ; vgl. b.v. ,,Pangeometrie", § 8. 

X^ Intusschen, zelfs, al had hij dat van al zijn axioma's aange- 
toond — de ,,Axiome der Verknüpfung" en ,,Axiome der Anord- 
nung" onderzoekt hij in dat opzicht niet; waarvoor hij (1. c. p. 20) 
den vagen grond opgeeft, dat zij ,,bei unserer Darstellung den 
übrigen Axiomen zu Grunde liegen" — dan was daarmee het 
minimumbewijs nog niet geleverd. Immers elk axioma, waarin 
het woord alle voorkomt, is splitsbaar, al was het alleen in het 
axioma voor alle op één na en dat voor de eene resteerende, en 
daarvoor zou dan telkens moeten worden aangetoond, dat het 
tweede deel niet uit het eerste volgt, wat misschien wel mogelijk 
is, maar in elk geval niet zoo eenvoudig, en Hilbert heeft in 
dat opzicht zijn onderzoek onvolledig gelaten. 



relaties (dat zijn ondergeschikte gebouwen) door een 
reeks van tautologieën overgaan tot nieuwe, niet 
direct geziene, m.a.w. als begeleiding van een 
exploratie van een zelf opgebouwd gebouw. Dan is 
zijn werk zuiver wiskundig, en het niet invoeren 
van coördinaten en opereeren daarmee, is alleen 
een methodische onvolkomenheid. 

Het is natuurlijk ook mogelijk, dat EUCLIDES het 
niet zoo heeft ingezien, en in de fout van zoo velen 
is vervallen, die dachten logisch te kunnen rede- 
neeren over andere dingen dan eigengemaakte wis- 
kundige systemen, en voorbijzagen, dat, waar de 
logica het woord a//^ of ^/^^ gebruikt, deze woorden, 
om zin te hebben, de beperking van voor zoover 
behoorend tot een als vooraf opgebouwd gedacht zvis- 
kundig systeem stilzwijgend insluiten '), 



*) Naast deze waan van de urijheid der logica staat als een 
analoge overschatting er van het idee van Aristoteles en de 
scholastici — dat nog sterk bij Spinoza en in mindere mate bij 
Kant nawerkt, en waaraan eerst in de 19de eeuw de philosophie 
ontgroeid schijnt te zijn — dat men door logica niet a priori 
duidelijke geheimen der natuur zou kunnen ontdekken, terwijl in 
werkelijkheid de conclusies waartoe men zoo geraakt, niet voor 
de natuur zelf, maar alleen voor het in willekeur daarop geprojec- 
teerde wiskundige systeem (waarvan dan slechts een deel het 
direct doorleefde dekt, terwijl het overige een uitbreiding door 
inductie daarvan is) geldig zijn ; dat die conclusies ook voor de 
natuur juist zijn (d. w. z. als leiddraad voor het menschelijk han- 
delen doel treffen), dient voor elke conclusie opnieuw geveri- 

i35 



LOBATCHEFF- 
SKY, BOLYAI. 



RIEMANN. 



HILBERT C. S. 



In elk geval is het werk van Euclides door de nako- 
melingschap meest als zulk een logisch gebouw opgevat 
en LoBATCHEFFSKY misschien en Bolyai zeker 
construeerden eveneens logische gebouwen, zonder 
zich om wiskundige systemen, die ze zouden kunnen 
accompagneeren, te bekommeren. Eerst Riemann 
heeft voor het onderzoek naar de grondslagen der 
meetkunde den juisten weg gewezen, door bij 
zijn redeneeringen er van uit te gaan, dat de 
ruimte een Zahlenmannigfaltigkeit is, dus een door 
ons zelf gebouwd systeem. Hij voert dit even- 
wel met nadruk in als een hypothese, die een 
willekeurig karakter draagt; en spreekt er niet 
van, dat we in elk geval een wiskundig S3^steem 
moeten ten grondslag leggen, en dan als zoodanig 
uithoofde van doelmatigheid de Zahlenmannigfaltigkeit 
kiezen. Zoo zijn dus Pasch, Hilbert enz,, in zijn 



fieerd (en elke verifieering door wiskundige inductie aangevuld). 
Zulk een verifieering is noodig, hoe juist de gebruikte praemissen 
ook waren, zoo goed als van een physische hypothese, hoe bruik- 
baar ook tot nog toe gebleken, elke nieuwe consequentie uit- 
drukkelijk dient gecontroleerd te worden. 

Die verifieering kan verder voor verschillende personen tot 
verschillend resultaat leiden, omdat zij de woorden der conclusie 
toetsen aan verschillende voor die woorden in hun geest bestaande 
wiskundige systemen, of ook zij kan bij gebrek aan zulke wis- 
kundige systemen in afwachting van latere ondervinding, dat 
is vorming van nieuwe wiskundige systemen, voorloopig onmo- 
gelijk zijn. 



i36 



aanname iets willekeurigs ziende, weer tot de logische 
grondvesting der meetkunde teruggekeerd, en hebben 
getracht Euclides te verbeteren, door, zooals we 
boven hebben uiteengezet, zich ten doel te stellen 
taaigebouwen ') te construeeren, die uit axioma's 
zich ontwikkelen, enkel door middel van het for- 
meele syllogisme en de verdere logische principes. 
De intuïtieve wiskunde halen ze alleen binnen den 
kring hunner beschouwingen tot het voeren van 
niet-strijdigheidsbewijzen (aangeven van een systeem, 
waarvan een zeker stelsel logische axioma's en dus ook 
alle er uit afgeleide stellingen kunnen worden be- 
schouwd, eigenschappen uit te drukken ^) )en onafhan- 



') Hll.riERT verklaar^ zelfs uitdrukkelijk, bij woorden als „Punkt," 
„Gerade", ,,zwischen" enz. aan geen wiskundige interpretatie te 
willen denken. 

-) Het is duidelijk, dat door het aangeven van een wiskundig 
systeem, waarvan de axioma's eigenschappen souden kunfie/i 
accompagneeren, bewezen is, dat nooit twee strijdige stellingen 
uit die axioma's kunnen worden afgeleid, want twee strijdige stel- 
lingen kunnen niet van een wiskundig gebouw gelden. Overigens ligt 
in het aanvoeren der wiskundige systemen als bestaansbewijzen voor 
de logische, dat men nog voelde dat het wiskundig systeem zelt 
geen verder bestaansbewijs, dan zijn intuitieven opbouw noodig 
had. Hoe die overtuiging Hl lbert later echter weer heeft verlaten, 
blijkt uit zijn noot ,,über den Zahlbegriff" (fahresber. der Deutschen 
Math. Ver. VHI), waar hij de getalsystemen, die hij alsbestaans 
bewijzen voor zijn geometrieën had ingevoerd, op hun beurt zelf 
t^eer alleen axiomatisch gedefinieerd denkt, zoodat dan daarvan 

i37 



kelijkheidsbewijzen (d.w.z. dat men, om aan te toonen, 
dat een zeker axioma uit zekere andere niet logisch 



nog weer even goed onafhankelijk van de intuitie de niet-strijdigheid 
moet worden aangetoond. Maar hij bedenke dat hij dan toch weer 
intuitief een wiskundig systeem (dat van de uit de axioma's afge- 
leide stellingen) intuitief opbouwt volgens de wetten der logica, 
en dan eenvoudig in de niet-strijdigheid een wiskundige eigenschap 
van dat wiskundig systeem aantoont, en dat niet anders dan 
intuitief. Daar hij geen intuitieve wiskunde wil erkennen, zal hij 
die laatste bewijsvoering ook weer als gebouw in de taal moeten 
beschouwen, en er een redeneering op grond van axioma's (n.1. 
over 'de ,,Verknüpfung" van de elementen, die de stellingen van 
het systeem zijn, en daaronder zeker het axioma van volledige 
inductie) in moeten zien ; en hij zal weer vweten bewijzen, dat die axio- 
ma's niet strijdig zijn. Maar 1* is hij dan nog even ver, als zooeven, 
2" volgt uit de niet-strijdigheid der axioma's nog niet het bestaan 
van het bijbehoorend wiskundig systeem, 3" volgt uit het bestaan 
van dat wiskundig redeneersysteem nog niet, dat dat taalsysteem 
leeft, m. a. w. een aaneenschakeling van gedachten begeleidt, en 
ddn nog niet, dat die aaneenschakeling van gedachten een wiskimdii^e 
ontwikkeling is, dus overtuigingskracht bezit. 

We zullen beneden zien, hoe Hilbert zich hieruit heeft trachten 
te redden, en in hoeverre hij daarin geslaagd is. 

Herinneren we in dit verband ook aan de beroemde brochure 
van Dedekind : ,,Was sind und was sollen die Zahlen ?", die zich 
ten doel stelt, de arithmetiek der geheele getallen logisch te 
bewijzen uit de allerprimitiefste begrippen. Hij geeft daartoe een 
logisch systeem (dus een wiskundig gebouw van woorden), waarin 
de woordbeelden van de onderlinge verhouding van de primitieve 
begrippen {geheel en deel, beantwoording i)an elementen aan 
elkaar, afbeelding lum systemen op elkaar enz.) de axioma's zijn, 

I38 



is af te leiden, een wiskundig systeem aangeeft, waar- 
van de laatste wel, het eerste niet, beschouwd kunnen 



en dat dan verder volgens de logische wetten eindig wordt opge- 
bouwd (dus zonder gebruik te maken van de volledige inductie, 
dat is de wiskundige intuitie ,,en soo uoori.") Zou dit systeem 
nu wiskundige beteekenis hebben, dan zou het door een wiskundig 
bestaansbewijs moeten worden gecompleteerd. Maar wilden we dat 
geven, dan zouden we daarbij zeker de intuitie „en zoo Doorf' 
moeten gebruiken, en zouden meteen zien, dat we alle arithme- 
tische stellingen veel eenvoudiger kunnen zien, dan volgens het 
gewrongen systeem van Dedkkind ; deze geeft dan ook niet het 
bestaansbewijs. Wel geeft hij $66 een bewijs voor: ,,Es giebt 
unendliche Systeme," maar 1" is vereischt een bewijs voor: ,,Es 
giebt einfach unendliche Systeme," wat meer is; en 2" is zijn 
bewijs, dat ,,meine Gedankenwelt" aanvoert, fout; want ,,meine 
Gedankenwelt" is niet wiskundig te bekijken, en het is dus ook 
niet zeker, dat ten opzichte van zoo iets de gewone axioma's van 
geheel en deel niet-strijdig zullen blijven. Wiskundige beteekenis 
heeft het systeem van Dedekind dus niet ; om het logische betee- 
kenis te geven, ware een onafhankelijk bewijs van niet-strijdigheid 
vereischt geweest, dat Dedekind evenmin geeft ; hdd hij dat 
trouwens gegeven, dan had hij zich op de intuitie „en 200 voort" 
moeten beroepen, maar had hij die intuitief erkend, dan had hij 
weer gezien, hoe hij met behulp daarv^an de arithmetiek eenvoudig 
had kunnen opbouwen, en was zijn logisch systeem hem als 
èn ongemotiveerd, èn omslachtig verschenen, en had hij niet volge- 
houden, dat ieder die rekent, onbewust alle phasen van zijn logisch 
systeem doormaakt, (vgl. Vorrede pag. IX : ,,Ich erblicke gerade in der 
Möglichkeit, solche Wahrheiten auf andere, einfachere, zurückzufüh- 
ren, mag die Reihe der Schlüsse noch so lang und scheinbar künstlich 
sein, einen überzeugenden Beweis dafür, das ihr Besitz oder der 

139 



worden eigenschappen uit te drukken), en in dezen 
zin treden bij hen o.a. niet-Archimedische en niet- 
Pascalsche geometrieën op, zooals we aan het eind van 
het eerste hoofdstuk hebben geconstrueerd ^). Deze 
weinig harmonische, met moeite samengetimmerde 
systemen krijgen zoo, doordat ze een beperkter 
stel axioma's representeeren, een prioriteit ten op- 
zichte van de eenvoudige, doorzichtige, Euclidische 
meetkunde"). Zoo iets storends is het gevolg, wan- 



Glaube an sie niemals durch innere Anschauung gegeben, sondern 
immer nur durch eine mehr oder weniger vollstandige Wiederho 
lung der einzelnen Schlüsse erworben ist.") 

Op dezelfde gronden als het werk van Dedekind, moet de 
verhandeling van Mannoury : „De zoogenaamde grondeigenschap 
der Rekenkunde" (Handelingen van het 8» Natuur- en Genees- 
kundig congres, Rotterdam 1901) die eenvoudiger hetzelfde idee 
uitwerkt, als grondlegging voor de rekenkunde worden veroor- 
deeld. 

') Van de daar opgebouwde groep van niet-Pascalsche geome- 
trieën zijn de door HiLBERT (Festschrift p. 69) en Vahlen (Ab- 
strakte Geometrie pag. 42; iio) aangegevene bijzondere gevallen. 

*) Van ons standpunt kunnen we in de pathologische geome- 
trieën van HiLBERT c. s. niets zien, dan speciale veralgemee- 
ningen van de Euclidische bewegingsgroep. En deze veralgemee- 
ningen blijven eenzijdig hierin, dat ze zich (in tegenstelling met 
die van Lik) tot projectieve groepen beperken, en dat ze (eveneens 
anders dan bij Lie) niet de algemeene groep, die aan zekere 
voorwaarden voldoet, opsporen ; wat overigens ook niet zal gaan, 
zoolang niet eerst als willekeurige beperking een ^^/^«aA/ wiskundig 
grondsysteem wordt gegeven, waarin de verder nog aan zekere 
intrinsieke voorwaarden voldoende groep moet worden ingepast. 

140 



neer men de taal, die een, zij het gebrekkig, 
hulpmiddel is om wiskunde mee te deelen, maar 
met de wiskunde zelf niets uitstaande heeft dan als 
een begeleiding, als iets essentieels er van gaat 
bekijken, en de wetten, die de opvolging der vol- 
zinnen regeeren, de logische wetten, als het eigenlijke 
richtende bij daden van wiskundig bouwen in 't oog 
gaat vatten. 

Intusschen blijven de moderne axiomatici natuurlijk 
toch van plan, om hun logische systemen ten slotte 
weer toegepast te zien, en hebben dan ook geen woord- 
gebouwen opgetrokken, dan die geschikt zijn, om 
opbouwbare wiskundige systemen te begeleiden. Nu 
rijst de vraag: gesteld we hebben op een of andere 
manier, zonder aan wiskundige interpretaties te denken, 
bewezen dat het uit eenige taaiaxioma's opgebouwde 
logische systeem niet-strijdig is, d.w.z. dat op 
geen moment der ontwikkeling van het systeem twee 
strijdige stellingen komen ; vinden we vervolgens een 
wiskundige interpretatie voor de axioma's ,(die dan 
natuurlijk bestaat in den eisch, een wiskundig gebouw 
te construeeren met aan gegeven wiskundige relaties 
voldoende elementen), volgt dan uit de niet-strijdig- 
heid van het logische systeem, dat zulk een wiskun- 
dig gebouw bestaat! Maar zoo iets is door de 
axiomatici nooit bewezen, niet eens voor het geval 
de gestelde voorwaarden insluiten, dat het een wis- 
kundig opbouwbaar systeem is, wat gezocht wordt ; 
zoo b.v. wordt nergens bewezen, dat als een eindig 

141 



getal aan een stelsel voorwaarden moet voldoen, 
waarvan bewezen kan worden, dat ze niet contra- 
dictoor zijn, dat dan dat getal ook bestaat. ^) 

Maar zeker niet is de stelling waar, als in de 
gegeven voorwaarden niet reeds de opbouwbaarheid 
uitdrukkelijk begrepen is. Zoo b.v. zijn volgens 
HiLBERT de eigenschappen, door Cantor gesteld 
voor de welgeordende verzameling, bestaande uit 
al de getallen der tweede getalklasse, niet contra- 
dictoor ; maar de verzameling bestaat niet wiskundig. 

Ad 2^ 

veroordeeiing We hebben in het eerste hoofdstuk gezien, dat 
van de logische ^^ geen andere verzamelingen bestaan, dan eindige 

grondslagen der o ... . 

Mengeniehre. en aftelbaar onemdige, en contmua ; hetgeen is 
aangetoond op grond van de intuitieve waarheid, 
dat wij wiskundig niet anders kunnen scheppen, dan 
eindige rijen, verder op grond van het duidelijk gedach- 
te ,,en zoo voort" het ordetype «, doch alleen be- 



*) Het is dus a fortiori niet zeker, dat van elk wiskundig pro- 
bleem óf de oplossing kan worden gegeven óf logisch kan worden 
aangetoond, dat het onoplosbaar is ; iets, waarvan intusschen 
HlLBERxin ,, Mathematische Probleme" meent, dat ieder wiskundige 
ten innigste is overtuigd. 

Maar van deze kwestie zelf is het natuurlijk ook weer niet zeker, 
dat ze ooit zal kunnen worden afgedaan, d.w.z. óf opgelost, óf als 
onoplosbaar aangetoond (een logische kwestie is ook niets dan 
een wiskundig probleem.) 

142 



staande uit gelijke elefnenten ^), zoodaA we ons b.v. de 
willekeurige oneindige duaalbreuken nooit af, dus 
nooit geïndividualiseerd kunnen denken, omdat het 
aftelbaar oneindige aantal cijfers achter de komma niet 
is te zien als een aftelbaar aantal gelijke dingen), 
en ten slotte het intuitief continuüm, (met behulp 
waarvan we vervolgens het gewone continuüm, het 
meetbaar contitmu^n, hebben geconstrueerd). 

Cantor en zijn volgelingen meenen echter nog 
allerlei andere verzamelingen te kennen ; hun grond- 
beginsel is (Cantor, ,,Grundlagen einer allgemeinen 
Mannigfaltigkeitslehre," pag. 46) het volgende: 

,,Der Vorgang bei der correcten Bildung von 
Begriffen ist m. E. überall derselbe ; man setzt ein 
eigenschaftsloses Ding, das zuerst nichts anderes 
ist, als ein Name oder ein Zeichen A und giebt dem- 
selben ordnungsmassig verschiedene, selbst unendlich 
viele verstandliche Pradicate, deren Bedeutung an 
bereits vorhandenen Ideeën bekannt ist und die 
einander nicht widersprechen dürfen ; dadurch werden 
die Beziehungen von A zu den bereits vorhandenen 
Begriffen und namentlich zu den verwandten be- 
stimmt; ist man hiermit vollstandig zu Ende, so 
sind alle Bedingungen zur Weckung des Begriffes 
A, welcher in uns geschlummert, vorhanden und 



}) Waar men zegt: „en soo voort' , bedoelt men het onbepaald 
herhalen van eenzelfde ding of operatie, ook al is dat ding of die 
operatie tamelijk complex gedefinieerd. 



er tritt fertig ins Dasein, versehen mit der intrasub- 
jectiven Realitat, welche überall von Begriffen nur 
verlangt werden kann ; seine transiente Bedeutung zu 
constatiren ist alsdann Sache der Metaphysik." 

Het komt zooals we zien ongeveer neer op het 
standpunt der axiomatici. 

We hebben boven getoond dat dit principe niet 
gewettigd is, en beweren nu op dezen grond, dat 
de vele paradoxen der ,,Mengenlehre", waarvan de 
oplossing met zooveel ijver wordt gezocht, geen 
recht van bestaan hebben ; dat veelmeer de Can- 
torianen verplicht waren geweest een begrip dat 
tot een contradictie aanleiding geeft, direct, als 
zeker onwiskundig gevormd, te verwerpen. 

Gaan we op enkele punten nader in : 

De tweede Van de definitie der welgeordende verzamelingen 

CANTOR^bestaat volgens Cantor (zie hoofdstuk I pag. 63) weten we, dat 
niet. ze niet-contradictoor is ; immers er bestaan welge- 

ordende verzamelingen, in de eerste plaats het orde- 
type u van de rij der eindige ordetypen: o, 1, 2. . . 
Er is dan ook niets tegen, om u te stellen als een 
nieuw ordegetal, en weer op nieuw te gaan tellen 

*), « -f- 1, u-\-2,... 2 (W, 2w-f-l,...., mfc' + n,.... 



Evenmin is er iets tegen, na alle op deze wijze 
te vormen getallen te stellen een getal u^\ we openen 
ons zoo weer een grooter gebied van volgens een 

144 



welgeordende rij op elkaar volgende ordegetallen, 
waarvan de uitdrukking geschiedt door den alge- 
meenen vorm : 

m,«Pi + m,w"2 + . . . . (p^. > p, ^ ,) 

als eerstvolgende waarop we u" kunnen invoeren. 
Zoo kunnen we doorgaan, en Cantor toont (, ,Grund- 
lagen" pag. 35) aan, dat elk zoo ingevoerd ordetype, 
dus ook in elk stadium het geheel der ingevoerde 
getallen, aftelbaar blijft. Dan laat hij echter volgen : 
,,Wir definiren daher die zvveite Zahlenclasse als 
den Inbegriff aller mit Hülfe der beiden Erzeugungs- 
principe (hij verstaat onder die twee principes : een 
eenheid verder gaan, en van een ordetype u hel naast- 
hoogere element, het greitselement, nemen) bildbaren, 
in bestimmter Succession fortschreitenden Zahlen « : 

u, «-f-1, ..., Voa)'*-h v,«/'~'-|-...4-v^_ j« -h v^, — 

.... « , .... CC, 



welche der Bedingung unterworfen sind, dass alle 
der Zahl « voraufgehenden Zahlen, von 1 an, eine 
Menge von der Machtigkeit der ersten Zahlenclasse 
bilden." 

Let wel, ,,den Inbegriff aller" ; hij spreekt hier 
van iets, wat zich niet laat denken, d.w.z. zich 
niet wiskundig laat opbouwen; immers een geheel, 

lo 145 



geconstrueerd met behulp van ,,en zoo voort" laat 
zich alleen denken, als dat ,,en zoo voort" op een 
ordetype u van gelijke dingen slaat ; maar het 
,,en zoo voort" hier slaat niet op een orde- 
type w, en ook niet op gelijke dingen. Cantor 
verliest dus hier den wiskundigen bodem. Volgens 
zijn boven aangehaald grondprincipe moet hem dit 
onverschillig zijn ; maar in elk geval moet hij dan 
toch zorgen, dat hij logisch vasten grond houdt, 
heeft dus aan te toonen, dat de invoering van dit 
,,Inbegriff aller" niet tot strijdigheden aanleiding 
kan geven, wat hij evenmin doet, wat echter kan 
geschieden volgens de methode, waarop Hilbert ^) 
de logische entiteit ,,Inbegriff aller" invoert, en 
haar niet-strijdigheid bewijst. 

Cantor gaat nu door en spreekt over zijn tweede 
getalklasse, alsof hij haar reëel voor oogen had ; 
zijn manier van uitdrukken wijst er alles behalve op, 
dat hij alleen een logisch systeem op het oog heeft. 
Bij het bewijzen der machtigheidssteUingen, dat de 
tweede getalklasse een hoogere machtigheid heeft 
dan de eerste, en wel de naasthoogere, ziet hij in die 
machtigheidsgelijkheid resp. ongelijkheid wel degelijk 
een reëele mogelijkheid resp. onmogelijkheid van een 
eenduidige afbeelding van twee bestaande getal- 
klassen op elkaar. 



') Verhandlungen des internationalen Mathematiker-Congresses 
in Heidelberg, 1904 p. 183, 184. 

146 



Van ons standpunt zijn die redeneeringen met de 
tendens die Cantor er in legt beschouwd, zinloos ; het 
eenige, wat er, meteenige wijzigingen, van te maken is, 
komt neer op de volgende trivialiteit: Wordt de 
logische entiteit T (machtigheid der tweede getal- 
klasse) ingevoerd, dan zou het axioma T r= A (A is 
de machtigheid van w) in het logisch gebouw tot 
een contradictie voeren ; evenzoo de invoering van 
een logische entiteit I, die de logische functie van 
een machtigheid zou moeten vervullen, en aan de 
axioma's A < I < T zou moeten voldoen. Dat is het 
logische, voor de wiskunde waardelooze resultaat 
dezer bewijzen van Cantor. Wil men het in wis- 
kundig licht bezien, dan kan men niet anders vin- 
den dan de volgende uitspraak: Onwaar zijn de 
beide stellingen : 

P. De tweede getalklasse is denkbaar en aftelbaar. 

2^. De tweede getalklasse is denkbaar, en er ligt 
een machtigheid tusschen de hare, en die der eerste 
getalklasse. 

Maar dat deze twee stellingen onwaar zijn, wisten 
we al, want we wisten al dat het eerste deel van beide 
(de denkbaarheid der tweede getalklasse) onwaar is. 

En als parallelle wiskundige inhoud der in de 
bewijzen van Cantor bevatte ontwikkelingen blijft alleen 
het volgende over : ,,Er is zeker geen rij met machtig- 
heid A van welgeordende verzamelingen zóó, dat ik 
nog niet een nieuwe, niet tot die rij behoorende wei- 
geordende verzameling zou kunnen opbouwen. Maar 

147 



De aftelbaar 
onaffe verzame- 
lingen. 



het geheel der welgeordende verzamelingen, die ik 
in een of ander wiskundig systeem heb ingevoerd, 
is zeker aftelbaar." (We spreken in deze wiskundige 
stelling niet van ,, getallen der tvi^eede getalklasse/' 
omdat het woord klasse hier niet tot ons begrip 
spreken kan ; we spreken ook niet uitdrukkelijk van 
de ,, aftelbare welgeordende verzamelingen," want 
we kunnen geen andere welgeordende verzame- 
lingen, dan aftelbare, opbouwen.) 

Wil men toch van ,,het geheel der welgeordende 
getallen" spreken, en iets omtrent de machtigheid 
daarvan zeggen, dan gelukt dat in een eenigszins ge- 
wijzigde beteekenis, in verband met de laatstgenoemde 
wiskundige stelling, door de volgende uitspraak: 

De machtigheid van het geheel der welgeordende 
getallen is aftelbaar onaf; we verstaan dan onder 
een aftelbaar onaffe verzameling een, waarvan niet 
anders dan een aftelbare groep welgedefinieerd is 
aan te geven, maar waar dan tevens dadelijk volgens 
een of ander vooraf gedefinieerd wiskundig proces 
uit elke zoodanige aftelbare groep nieuwe elementen 
zijn af te leiden, die gerekend worden eveneens tot 
de verzameling in kwestie te behooren. Maar streng 
wiskundig bestaat die verzameling als geheel niet; 
evenmin haar machtigheid; we kunnen deze woor- 
den echter invoeren als willekeurige uitdrukkings- 
wijzen voor een bekende bedoeling. 

Als verdere voorbeelden van aftelbaar onaffe ver- 



zamelingen 



kunnen we noemen: Het 



geheel der 



148 



definieerbare punten op het continuüm; en a fortiori 
het f^eheel van alle mogelijke wiskundige systemen. 

Bij het nooit klaar komend opbouwen van een 
aftelbaar onaffe verzameling kunnen we al voort- 
bouwende naar opvolging afbeelden op de rij der 
welgeordende verzamelingen, die eveneens nooit 
uitgeput raakt ; het begrip van gelijkmachtigheid 
uitbreidend, om het hier toepasbaar te houden, kun- 
nen we zeggen : 

Alle aftelbaar onaffe versainclingen zijn gelijk- 
niachtig '). 

We onderscheiden dus dan voor verzamelingen 
naar volgorde van grootte de volgende machtigheden: 

P. de verschillende eindige. 

2°. de aftelbaar oneindige. 

3°. de aftelbaar oneindig onaffe. 

4°. de continue. 

Het contimiumprobleem, waarover voortdurend Het conti- 

nuumprobleetn. 



*) Intusschen kan men in zekeren zin ook zeggen, dat aftelbaar 
onaffe en aftelbare verzamelingen gelijkmachtig zijn, daar elke 
aftelbaar onaffe verzameling is af te beelden op w- (immers elk 
gedeelte, dat ik telkens weer toevoeg, als ik de aftelbaar onaffe 
verzameling opbouw, is af te beelden op w, immers is aftelbaar; 
construeer ik zulk een afbeelding voor elk toegevoegd gedeelte, 
dan beeld ik de onaffe verzameling af op w + w -•-<«) -|- .. . 
= «*); alleen is deze afbeelding steeds onaf; het bewijs, dat een 
afbeelding eener aftelbaar onaffe verzameling op een aftelbare 
onmogelijk is, geldt dan ook alleen voor een qffe afbeelding. 

149 



bijdragen verschijnen met het doel, de oplossing 
een stap verder te voeren, stelt den eisch aan te 
toonen, dat het continuüm en het ,, geheel der ge- 
tallen van de tweede getalklasse" gelijkmachtig zijn. 
Uit het voorgaande blijkt nu, dat men daarmee, 
aangezien nóch het geheel der getallen van de tweede 
getalklasse, nóch het continuüm als systeem van 
geïndividualiseerde punten wiskundig bestaan, niets 
duidelijk gedachts kan zoeken, dan de volgende 
buiten de eigenlijke wiskunde staande logische stelling: 

,,Men kan als logische entiteiten invoeren het geheel 
der getallen van de tweede getalklasse en het geheel 
der punten van het continuüm zóó, dat de aamiame 
dat daartusschen een correspondentie één aan één 
bestaat, waarbij geen enkel element van een vaji 
beide buiten die correspondentie valt, niet-contra- 
dictoor is." 

Maar als men invoert de logische entiteit : geheel 
der punten van het continuüm, en de continuum- 
intuitie heeft verlaten, dus de punten van het conti- 
nutim moet definieeren, is dat niet anders mogelijk, 
dan als de te de/inieeren wetten van voortschrijding 
voor benaderende duaalbreuken. Nu, als zoodanig 
is dan het continuüm aftelbaar onaf en ook de 
tweede getalklasse is aftelbaar onaf, de gezochte 
ogische stelling is dus bewezen. 

De verwante wiskundige kwestie (dat alle op 
het continuüm te definieeren verzamelingen óf aftel- 
baar zijn, óf de machtigheid van het continuüm 

l5o 



bezitten) is in het eerste hoofdstuk (pag. 62 — 67) 
behandeld. 

Volgen we Cantor verder, dan zien we hoe hij De paradox van 
als eerste ordegetal, dat op alle ordegetallen der burali-forti. 
tweede klasse volgt, n invoert, en dat noemt : 
eerste ordegetal der derde getalklasse. Maar si be- 
staat niet wiskundige en het logische bewijs voor de 
niet-strijdigheid van het nieuw ingevoerde ding, 
hoewel waarschijnlijk licht te voeren, heeft geen 
belang. 

Cantor's volgelingen zijn onbeschroomd nog verder 
doorgegaan, en hebben zoo evenveel getalklassen 
en machtigheden geschapen, als ze ordegetallen zelf 
konden scheppen, zich nóch om wiskundige denk- 
baarheid, nóch om logische niet-strijdigheid bekom- 
merend. Ten slotte voerden ze in het geheel van 
alle ordegetallen, maar bemerkten nu een logische 
strijdigheid, die intusschen werd gesignaleerd als 
wiskundige paradox en waarvan een wiskundige (we 
verstaan onder wiskundig steeds : in het gebied der 
intuïtieve denkbaarheden liggend) oplossing met ijver 
werd gezocht, zonder dat men er erg in had, hoe 
hier het gebied der wiskunde reeds lang verlaten was. 

Het is de paradox van Burali-Forti : (,,Una 
questione sui numeri transfiniti," Rendiconti del 
circolo Matematico di Palermo 1897) ,, Stellen we 
het geheel der wel geordend e typen naar volgorde van 
grootte gerangschikt, O, dan is O zelf een welge- 

l5i 



ordend type^ en daar alle welgeordende typen optreden 
als een deelverzameling van O, moet O het grootste 
welgeordende type zijn. Maar als O een welgeordend 
type is, is O -j- l er ook een, en O -\- l is >> O; O 
is dus niet het grootste ordegetal." 

Ten eerste zou de paradox licht te verhelpen 
zijn, door aan O niet opnieuw de eigenschap toe 
te kennen, (aan vroeger geschapen welgeordende 
typen toch ook alleen bij willekeurige axioma's 
toegekend), dat O -f 1 weer een welgeordend type is. 

Maar ten tweede mag men zoo iets niet paradox 
vinden : waar men logische gebouwen schept, zonder 
een wiskunde, die ze als taalbegeleiding accompag- 
neeren, is van elk gebouw a priori even goed mogelijk, 
dat het strijdig, als niet-strijdig is. 

De wei-orde- Een tweede beroemd probleem uit de leer der 

le'keurrT'^ ^er- transfinite getallen is: ,,Te bewijzen, dat elke ver- 

zameiing. samelijtg kan worden welgeordend.'' Cantor sprak 

deze stelling (,,Grundlagen" pag. 6) uit als ,,Denk- 

gesetz," waarvoor natuurlijk niet de minste reden 

is, zoodat zijn volgelingen dan ook trachtten haar 

te bewijzen. In Mathem. Ann. Sg geeft Zermelo 

zulk een bewijs op grond van het volgend axioma: 

,,Jeder Teilmenge M' einer Menge M kann man 

ein beliebiges Element lu', zugeordnet denken, das 

in M' selbst vorkommt und das ,,ausgezeichnete" 

Element von M' genannt werden moge." 

BoREL merkt dan in Mathem. Ann. 60 terecht 

l52 



op, dat wie zoo iets als axioma invoert, even goed 
de stellinj^ zelf als axioma nemen kan. 

Nu weten we, dat behalve de aftelbare ver- 
zamelingen, waarvoor de stelling zeker geldt, nog 
alleen het continuüm bestaat, waarvoor de stelling 
zeker niet geldt, vooreerst omdat men het grootste 
deel der elementen van het continuüm als onbekend 
moet beschouwen, ze dus allerminst individueel kan 
ordenen, en dan, omdat alle welgeordende verza- 
melingen aftelbaar zijn. Ook deze kwestie blijkt 
dus illusoor. 

Als hoofdstelling van de leer der transfinite ge- Het theorema 
tallen wordt gewoonlijk genoemd het theorema van ^^" ^^^nstein. 
Bernstein-Schrüder : 

,^Zijn A en B twee verzamelingen en is A een-een- 
duidig af te beelden op een deel van B en evenzoo B op 
een deel van A, dan ook A op B," 
of wat op hetzelfde neerkomt, (we voeren in het 
symbool ,,acob", gelezen: a aequivalent met b, om 
uit te drukken dat a en b een-eenduidig op elkaar 
afbeeldbaar zijn) : 

Als 

ArrzA, -^B + C 
A co A, 
dan ook 

A oo A, + B. 



(Gesteld n.1. dat de stelling in de laatste formu- 

i53 



leering bewezen is en gegeven: 







A 
H 


-H,+C 
coH, 




H=:A, 

AcNoA, 


-hD 


hebben 


we 


eveneens 














H, : 


rrA., 


+ 1^. 




waarin 






A„ 


<^A, 
oo D. 


c>oA 





En nu volgt uit 

Ar=A„-i-D, +C 

volgens de stelling in de tweede formuleering 

Aoo A,,+D, ooH.) 

Het bewijs voor de tweede formuleering wordt 
gegeven als volgt : Passen we de operatie, die A 
verdeelt in een deel, met het geheel aequivalent, en 
nog twee andere deelen, weer toe op A, , zoodat 

A, = Aj -I- B, H- C, , 

vervolgens op Aj enz,, dan hebben we ten slotte: 

A = B + B, -h B, 4- 

+ C 4- C, 4- C, . . . . H- D. 

als D de verzameling is, die aan alle opvolgende 
A's gemeenschappelijk is. Maar duidelijk is 

C + C, 4- Cj H- . . . . co C, 4- Cj . . . . 
Dus 

AcoB4-B, 4-Bj....4-C, 4-C54-....4-Dcx)A, 4-B; 

en men krijgt de gezochte afbeelding, door C af te 
beelden op C,; C, op Cj; Q op C3; enz. 

Voor de alleen als niet-contradictore logische 

154 



entiteiten bestaande verzamelingen bewijst dit theo- 
rema, dat als 

A = A, H- B -h C, 

en er is een een-eenduidige afbeelding van A op A^ 
gegeven, dat het dan logisch niet-strijdig is, aan te 
nemen dat ook A en A, n- B aequivalent zijn. 
Wiskundig geeft het ook een middel aan, om een 
een-eenduidige afbeelding van A op A, -f- B werkelijk 
uit te voeren, maar alleen voor de gedefinieerde, de 
bekende elementen van A, dat is dus voor een aftel- 
baar onaf gedeelte. Voorde onbekende elementen leert 
het zulk een afbeelding niet. Zoo b.v. bij een A, die 
een continuüm is, zullen we van een willekeurig 
element, dat dus alleen bij steeds onaffe benadering 
bekend is, nooit weten, of het al of niet tot een 
der Cs hoort, en zoo ja, tot welke, dus kunnen we 
van de benadering van de afbeelding niets zeggen. 

Wiskundigen zin heeft dus de stelling, zooals ze 
boven is bewezen, alleen voor eindige, aftelbare en 
aftelbaar onaffe verzamelingen. Maar daarvoor is 
haar geldigheid direct duidelijk. 

Het theorema is zooals we van vroeger (zie 
Hoofdstuk I pag. 62 — 67) weten, ook geldig voor 
continua; maar het zooeven gegeven bewijs heeft 
voor dat geval geen waarde. 

Nu het theorema zonder beteekenis blijkt te zijn, 
kunnen we verwachten, dat de vele toepassingen, 
die de Cantorianen er van maken, even inhoudsloos 

i55 



zijn. Onderzoeken we als voorbeeld een verhan- 
deling van Bernstein in Mathem. Annalen 6i. 
Om het continuumprobleem dichter bij zijn oplossing 
te voeren, leidt hij daar naast de bekende stelling: 

De machtigheid van alle welgeordende typen met 
machtigheid A [eerste machtigheid) is F [tweede niach- 
tigheid) 
een analoge af: 

De machtigheid van alle ordetypen met machtig- 
heid A is C [machtigheid van het continimm). 

Deze stelling grondt hij met behulp van zijn 
aequivalentietheorema op de beide hulpstellingen : 

a) Het continimm is acquivalent met ee7i deelver- 
zameling uit het geheel van alle ordetypen met mach- 
tigheid A : zeggen we uit de verzameling O^ . 

b) De verzajneling O^ is aequivalent met een deel 
van het cojttimium. 

Het eerste bewijst hij door aan een oneindige 
duaalbreuk te laten beantwoorden het ordetype, 
dat ontstaat door tusschen elke twee cijfers achter de 
komma een ordetype «* + « in te voeren, en ver- 
volgens alle cijfers o te schrappen, en voor alle 
cijfers 1 een enkel element te zetten. 

Het bewijs dat hij voor de tweede hulpstelling 
geeft, is onjuist ; zooals hij daar de ordetypen met 
machtigheid A opbouwt (n.1, eerst één neerzetten, 
dan de tweede, waarvoor 2 keuzen van plaats zijn, 
dan de derde, waarvoor er 3 zijn enz.), krijgt hij nooit 

i56 



meer, dan een bijzondere groep van typen, waarvan 
het aantal aftelbaar is, n.1. 1X2X3X4X.... 
Want het af denken van een aantal A van factoren, 
dat voor de duaalbreuken van het continuüm gebeurt, 
kan daar alleen geschieden uithoofde van de conti- 
nuüm/;///»'//^ ; een analoge intuïtieve mogelijkheid 
bestaat hier niet. 

Hier kunnen we dus alleen aan die ordetypen 
denken, waarvoor een wet van voortschrijding is 
gegeven, maar dan wordt de verzameling van alle 
ordetypen gedacht als aftelbaar onaffe verzameling 
van voortschrijdings wetten. Die gegeven af beelding 
is er dus eene van O, als wettenverzameling op een 
deel van het continuüm. 

Keeren we terug tot de eerste hulpstelling, dan 
kunnen we haar op twee manieren lezen. Of: 

,^Alle punten van het continuüm zijn aequivalent 
met een deel van alle elementen uit O^." 

Of: 

^,Alle benaderings wetten voor punten van het 
continuüm zijn aequivalent met een deel van alle 
benaderingswetten voor elementen uit O.^." 

Alleen de laatste lezing is te combineeren met de 
tweede hulpstelling, voor zoover ze door Bernstein 
bewezen mag worden geacht. Maar wat blijft dan 
nu van het resultaat? Dat alle voortschrijdingswetten 
in O^ aequivalent zijn met alle benaderingswetten 
in het continuüm, wat vanzelf spreekt, daar beide 
verzamelingen aftelbaar onaf zijn. 

i57 



machtsver- 
heffing. 



De transfinite Behalve de rij der welgeordende klassen wordt in 
de leer der transfinite verzamelingen nog een ander 
middel gebruikt, om tot steeds hoogere machtigheden 
op te klimmen, berustend op machtsverheffing tot een 
transfinite exponent. 

Men verstaat onder M^ de beleggingsverzameling 
van N met M d.w.z. de verzameling, bestaande 
uit alle manieren, om met elk element van N een 
element van M te laten correspondeeren. 

Men bewijst dan dat voor M >> 1, 

M^ > N. 

(vgl. b.v. ScHOENFLiES, Bericht über die Mengen- 
lehre, Jahresber. der Deutschen Math. Ver. Bd VIII 
Heft 2 pag. 26; daar wordt bewezen dat N^ >• N, 
maar het bewijs laat zich op de hier gegeven stel- 
ling onveranderd veralgemeenen). 

De eerste op deze wijze afgeleide hoogere machtig- 
heid is 

waar M eindig of aftelbaar oneindig, en A de aftelbaar 
oneindige machtigheid ; deze beleggingsverzameling 
kunnen we denken, omdat we het continuüm kunnen 
denken. 

Maar reeds de volgende beleggingsverzameling 
der reeks : 

F=:mC 

kunnen we niet meer denken, dus de stelling dat F 
i58 



(dus b.v. de verzameling van alle functies van een 
enkele reëele veranderlijke) >• C is, heeft geen andere 
wiskundige beteekenis meer, dan de volgende uit- 
spraak: 

,,Met elk verschillend element van C is eenduidig 
een verschillende beleggingsgroep in correspondentie 
te brengen ; — terwijl het niet waar is, dat F denk- 
baar en afbeeldbaar op C zou zijn." 

Wat we natuurlijk ook zonder het bewijs voor 
de stelling al wisten, omdat we wisten, dat F niet 
denkbaar is. 

Ad. 3°. 



De klassieke theoretische logica was ontoereikend, 
om van de wiskunde rekenschap te geven. Haar zoo- 
danig uit te breiden, dat ze dat wel zou kunnen was het 
doel van de logistici. Nu hebben we gezien, dat 
de klassieke logica bestudeert de taalbegeleiding ^) 
der logische redeneeringen, d.w.z. der redeneerin- 
gen in relaties va?t geheel en deel voor willekeu- 
rige wiskundig opgebouwde systemen ; en we weten 
uit het feit, dat we die wiskundige systemen zien^ 
dat daar de volgens de klassieke logica elkaar 



Propositio- 

neele functies 

en klassen. 



') Zoo goed als alle wiskundige taal is ook deze taal zonder 
moeite te condenseeren tot symbolen. Men vergelijke voor zulk 
een symbolische taal („Algebra der Logica" genoemd) b. v. A. N. 
Whitehead, „A Treatise on Universal Algebra", Cambridge 
University Press 189S, pag. 35 sqq. 

i59 



opvolgende volzinnen, die immers wiskundige bouw- 
handelingen begeleiden, nooit contradicties zullen ver- 
toonen. Zoo voeren we dasiT xeiMg in de logische som, 
het logisch product, en de complementairverzameling 
d.w.z. de verzameling die als praedicaat heeft de ont- 
kenning van het praedicaat der gegeven verzameling; 
en passen er veilig toe de principes van identiteit, syllo- 
gisme, distributie '), contradictie, en tertium. non datur. 

De logistici gaan omgekeerd van deze principes 
uit, en leggen als operatiegebied, waarbinnen de 
met de woorden of symbolen bedoelde relaties 
moeten bestaan, ten grondslag niet een of ander 
wiskundig systeem, maar het hersenschimmige ,, alles" 
— dat, zooals we boven (pag. i38 sqq, noot) zagen, 
ook Dedekind ten onrechte als uitgangspunt wilde 
nemen — waaruit ze verschillende klassen definieeren 
door wat ze noemen propositioneele functies. 

Onder een propositioneele functie verstaan ze een 
bewering omtrent x, of omtrent x en r, in 't alge- 
meen omtrent een zeker aantal variabelen, waarin 
men voor die variabelen alle substituties moet den- 
ken; zij rekenen dan, dat door die bewering een 
klasse bepaald is, bestaande uit alle dingen (of voor 
meer veranderlijken : groepen van dingen), die, ge- 
substitueerd, de bewering waar maken. 

Ze schrijven x 3 cp x voor alle dingen, waarvoor de 



') d.w.z. (a + b) c = ac -j- bc, waarin de logische sommen en 
producten bedoeld zijn. 

160 



bewc7-ing x waar is ; het rcciproke teeken ^ wordt 
ingevoerd zóó, dat k e {x 3 (p x) --:<p k, m.a.w. voor 
het geval, dat de propositioneele functie een klasse 
a bepaalt, beduidt k e a: k hoort tot de klasse a. 

Peano had het het teeken e primair genoemd; 
RussELL gaat liever uit van 3, omdat hij het niet 
zeker vindt, dat iedere propositioneele functie een 
klasse bepaalt. 

Daar heeft hij gelijk aan; hij werkt echter met 
zijn propositioneele functies als met de praedicaten 
der gewone logica, doet dus toch alsof de functie 
wèl altijd een klasse bepaalt. 

Maar nooit kan men een woordsysteem van bewe- 
ringen en propositioneele functies een prioriteit in 
het intellect geven ten opzichte der wiskunde ; want 
geen beweringen omtrent de buitenwereld worden 
met vol verstand gezegd, dan die een op de buiten- 
wereld geprojecteerd wiskundig systeem vooronder- 
stellen. Hoe men zich draait of wendt, de grond 
van de wiskunde blijft de wiskunde en die groeit 
over haar geheele gebied vrij en intuitief. 

Terwijl de logistici, als vrijen oorsprong van 
logica en wiskunde de propositioneele functies be- 
schouwend, als zoodanig allerlei door (foutieve) 
analogie met wiskundige eigenschappen gevormde 
volzinnen uitspreken en daarvoor postuleeren dat ze 
klassen bepalen, en dat over die klassen volgens de 
wetten der klassieke logica kan worden geredeneerd. 

Dat zij dus, evenals de Cantorianen, op contradicties De contradictie 

II 161 



stooten '), behoeft niet te verwonderen, en hun eigen 
verwondering kan alleen zijn te wijten aan begrips- 
verwarring. 

RUSSELL (,,The Principles of Mathematics", Part I, 
Chap. X) bespreekt het uitvoerigst de volgende 
contradictie : 

,,Er zijn klassen, die zelf als eenheid beschouwd 
tot hun elementen behooren, b.v. de klasse der 
klassen, de klasse van alle dingen, die niet leven, 
en meer. Ik beschouw nu de klasse van alle klas- 
sen, die de zooeven genoemde eigenschap, tot 
hun elementen te behooren, niet bezitten; bezit 
die klasse dan de genoemde eigenschap? Zoo ja^ 
dan hoort ze tot haar elementen, is dus één van 
de klassen, die de eigenschap niet bezitten, bezit 
dus de eigenschap niet. En vice versa : zoo neen, 
dan staat ze daarin met haar elementen gelijk, be- 
hoort dus tot haar elementen, bezit dus de eigen- 
schap wel." 

RusSELL suggereert eenige middelen om aan de 
contradictie te ontkomen maar verwerpt ze dan 
toch weer en gelooft dat een diepgaande hervorming 
der logica tot de oplossing noodig zal zijn. Het 
meest geneigd voelt hij zich tot de opvatting, dat 



') In zulk een contradictoor systeem zijn natuurlijk bijna geen 
redeneeringen meer gerechtvaardigd, daar het voornaamste rede- 
neermiddel, het principe van contradictie, niet mag worden toe- 
gepast. 

162 



een theorie moet worden gezocht, die niet veroor- 
looft, alle klassen, zelf als eenheid beschouwd, tot 
logische subjecten te maken. ,, Misschien ook", zegt 
hij, ,,moet de notie alle dingen worden verworpen, 
maar elk willekeurig ding moet in elk geval behou- 
den blijven; immers er zijn waarheden, n.1. de 
logische principes, die voor elk willekeurig ding 
gelden." 

Dat is intusschen juist niet waar : logische prin- 
cipes gelden alleen voor woorden met wiskundige 
beteekenis. En juist omdat Russell's logica niets 
is dan een woordsysteem, zonder een vooronder- 
steld wiskundig systeem, waarop het betrekking 
heeft, is er geen reden, dat er geen contradicties 
zouden komen. 

Overigens ziet ook het gezond verstand direct, 
waar de redeneering in kwestie haar leven verliest, 
dus niet meer betrouwbaar is, en dat zelfs zonder dat 
de illusie van het hersenschimmige ,, alles" behoeft te 
worden weggenomen. Immers gesteld, ik kende een 
,, alles" met een ,, geheel" van tusschen de dingen 
bestaande relaties en een stelsel van voor de dingen 
mogelijke proposities. Dan kan ik voor een propo- 
sitioneele functie voor elk willekeurig di?ig op grond 
van zijn gegeven relaties uitmaken, of het wel of 
niet de functie waar maakt, dus in welke van de 
beide door de functie bepaalde klassen het dient te 
worden geplaatst. 

Maar wil ik voor het ding, dat de kwestieuze klasse 

i63 



is, onderzoeken, of het de gestelde propositioneele 
functie waar maakt, dan merk ik, dat de uitvoering 
van het onderzoek het reeds afgeloopen zijn er van 
vereischt. Het onderzoek kan dus niet worden 
uitgevoerd, en zoo is de contradictie opgelost. We 
hebben hier een propositioneele functie, die twee 
complementaire klassen bepaalt, die niet aan het 
principe van tertium non datur voldoen; wat niet 
behoeft te verwonderen, want de logische principes 
bestaan slechts voor de taal der wiskunde ; voor 
andere taalsystemen, hoe zeer ook aan de wiskun- 
dige verwant, behoeven ze dus niet te gelden. 

In anderen vorm geeft RussELL de contradictie 
pag. 80 en pag. 102. Daar zegt hij: 

,,Er zijn praedicaten, die van hun eigen uitdruk- 
king door woorden gelden ; en die dat niet doen. 
Het eenvoudigste voorbeeld van de eerste soort is 
wel: een praedicaat zijn. Maar geldt nu de eigenschap 
voor: niet gelden voor zijn eigen uitdrukking door 
woorden? Zoo ja, dan neen; zoo neen, dan ja." 

Hij wil dit oplossen door te zeggen, dat niet 
gelden voor zijn eigen uitdrukking door woorden geen 
praedicaat is, wat natuurlijk niemand hem zal toegeven. 

En evenmin wat hij pag. 88 voorstelt, om te 
ontkomen aan de contradictie in een derden vorm, 
die voortvloeit uit de verdeeling van propositioneele 
functies in zulke als wel en als niet voor zich zelf 
gelden, dat n.1. een propositioneele functie niet op 
zich zelf zou kunnen worden gedacht. 

164 



Voor de beide laatste contradicties geldt overigens 
dezelfde oplossing als voor de eerste. 

Tot zoover de rol van de klassieke logica ; de De relatie- 
logistiek vult haar dan verder aan met de zoo- '°^'*^*" 
genaamde relatielogica, en de conclusie luidt ten 
slotte, dat zuivere wiskunde niets mag zijn dan een 
systeem, opgebouwd uit eenige logische grondbe- 
grippen, volgens eenige logische grondprincipes (Rus- 
SELL telt er van de eerste 9 en van de laatste 20); 
dat zij alleen op deze wijze een vasten grond en 
een zekeren voortgang behoudt ; dat er misschien 
nog wel een intuïtieve wiskunde ook kan zijn, maar 
dat die dan uitsluitend bestaat in de toepassing der 
genoemde zuivere wiskunde op materieele dingen, 
(vgl. b.v. CouTURAT, ,,Les Principes des Mathéma- 
tiques", Introduction, pag. 4,) 

Maar zuivere wiskunde is, zooals we weten, nóch 
het één nóch het ander. 

De relatielogica dan, aanvangende bij het woord 
volgen op, dat afbeeldt de meest elementaire daad van 
wiskundig bouwen, zooals ze direct uit de oer-intuïtie 
voortkomt, bestudeert de taal der wiskunde in het 
algemeen, zooals de klassieke logica die van de 
speciale wiskunde van geheel en deel. 

Dat in de taal, die de wiskunde begeleidt, de opvol- 
ging der woorden aan wetten gehoorzaamt, spreekt 
van zelf; maar dié wetten als het leidende bij den 
opbouw der wiskunde te beschouwen, daarin ligt 
de fout. 

i65 



Rekenkunde 
van Peano. 



Rekenkunde 
van RUSSELL. 



Gaan we ter toelichting in op de theorie der 
geheele positieve getallen m.a.w. de gewone reken- 
kunde, zooals ze door de logistici gegeven wordt. 

Peano (,,Su1 concetto di numero", Rivista di 
Matematica, 1. 1; vgl. Couturat, ,,Les Principes 
des Mathématiques", pag. 64) voert hier na de 
klassieke logica in drie nieuwe grondbegrippen: 
o, N (eindig ordinaalgetal) en seq (opvolger), en vijf 
daarvoor geldende grondprincipes: 

1°. o is een N. 

er is geen N, waarvan o de seq. is. 
de seq. van elke N is een N. ') 
twee N's zijn gelijk, als hun seq. 's gelijk zijn. 
een klasse., die o bevat, en die van elke N, die 
ze bevat., ook de seq bevat, bevat alle N's. 

Maar leidt Peano hieruit de rekenkunde af, dan 
bouwt hij weer op een logisch systeem, dat nóch 
door een bestaansbewijs, nóch door een bewijs van 
niet-strijdigheid wordt gesteund. 

Het is dus te veroordeelen op dezelfde gronden als 
het systeem van Dedekind. (vgl. pag. i38 sqq, noot.) 

RussELL (,,The Principles of Mathematics" p. 127) 
verbetert de methode van Peano aanmerkelijk, door 
te beginnen, cardinaalgetallen te delinieeren als klassen 
van aequivalente klassen, en vervolgens te zeggen: 



2°. 
3°. 

5°. 



*) Waaraan dient te worden toegevoegd (Poincaré, Revue de 
Métaphysique et de Morale 1905 p. Z^^)- elk getal heeft een op- 
volger, elke N heeft een seq. 



166 



P. o is de klasse van klassen, die als eenig 
lid heeft de nulklasse — de nulklasse zelf gedefinieerd 
(l.c. pag. 75) als klasse van alle klasse-concepten, 
die geen leden voor hun klasse geven; en daarom 
gecenseerd (of als een principe gepostuleerd?) te 
bestaan — ; de klasse o bestaat dus. 

2°. 1 is de klasse van klassen met leden, zóó, dat 
als X tot de klasse behoort, de klasse verminderd 
met X, geen leden heeft. 

De klasse 1 bestaat, want heeft reeds een lid dat er 
toe behoort, n.1. de zooeven gedefinieerde klasse o. 

3°. n -|- 1 is de klasse van klassen, aequivalent 
met de klasse, verkregen door bij een klasse, hoorend 
tot de klasse n, een element te voegen. De klasse 
n -|- 1 bestaat dus, als n bestaat. 

4°. Eindige getallen zijn die cardinaal getallen, 
welke behooren tot elke klasse s, waartoe o behoort, 
en verder n -|- 1. als n er toe behoort. 

De zoo gedefinieerde eindige getallen voldoen aan 
alle postulaten van Peano, zonder nieuwe grond- 
begrippen en grondprincipes in te voeren, en kunnen 
dus volgens Russell als bestaansbewijs dienen 
(als we n -|- 1 als de seq. van n beschouwen) en 
CouTURAT (antwoord aan Poincaré, Revue de 
Métaphysique et de Morale 1906, n" 2) legt sterk den 
nadruk op dit bestaansbewijs, dat de intuïtie van 
u of van de volledige inductie niet noodig zou 
hebben, zoodat het logische systeem hier vrij van 
die intuïtie zou zijn opgebouwd, en zonder behulp 

167 



y' 



van volledige inductie niet-contradictoor zou zijn 
gebleken. 

Maar we hebben boven gemerkt, dat het klasse- 
concept door definitie wèl contradictoor is, dat dus 
nooit de niet-strijdigheid van een logisch systeem 
mag worden gebaseerd op haar parallel loopen met 
pseudo-wiskundige operaties in klassen, die alleen 
door definitie bestaan. 

RussELL schroomt intusschen niet, de volledige 
inductie, die hij niet als axioma wil uitspreken, 
tóch met de daad toe te passen. Hij bewijst n. 1. 
dat n -|~ 1 het cardinaalgetal van de klasse der ge- 
tallen o, 1, 2 n is en dat als volgt: 1 is het 

cardinaalgetal van de klasse o ; 2 (gedefinieerd als 
1 -f- 1 ) dat van de klasse o, 1 ; 3 (gedefinieerd als 
2-}-l) dat van de klasse o, 1, 2; enzoovoort. 

Evenzoo past hij de volledige inductie toe om 
te bewijzen, dat een eindig getal niet met een van 
zijn deelen aequivalent kan zijn (l.c. pag. 121, 123). 
Oneindige ge- De gedefinieerde eindige getallen geven meteen 
*^"^"* de definitie van het cardinaalgetal A der klasse, die 

ze alle bevat (de eerste transfinite machtigheid), van 
welk cardinaalgetal Russell zonder moeite bewijst, 
dat het zelf geen eindig getal is, omdat het n.1. 
wèl met het geheel aequivalente deelen bezit; ver- 
volgens toont hij aan, dat elke oneindige klasse deelen 
bezit met cardinaalgetal A. (l.c. pag. 122, 123). 

Maar de wijze waarop de logistici de verdere wis- 
kunde ontwikkelen heeft, behalve dat de taal zoo- 

168 



veel mogelijk in symbolische tcekens wordt gecondenseerd, 
geen bijzonder karakter meer. Ze smelt samen met 
de methoden der Cantorianen en die der axiomatici. 

De conclusies omtrent de logistiek moeten Conclusies 
luiden : dat ze niets kan leeren omtrent de erond- °'"*^^"! ,^^ 

° logistiek. 

slagen der wiskunde, omdat ze onherroepelijk van de 
wiskunde gescheiden blijft; dat ze integendeel, om 
een bestaan in zichzelf te handhaven, d.w.z, zich 
voor contradicties te bewaren, al haar eigen speciale 
principes heeft te verwerpen en zich heeft te beper- 
ken, een getrouwe, machinale, stenographische 
copie te zijn van de taal der wiskunde, die zelf geen 
wiskunde is, maar alleen een gebrekkig hulpmiddel 
voor de menschen, om wiskunde aan elkaar mee 
te deelen, en hun geheugen voor wiskunde te onder- 
steunen. 

Ad 4". 

De zuiverste consequentie van de hier bestreden Niet-strijdig- 
methoden, waaraan tegelijk het eenvoudigst en hel- ''eidsbewijzen 

^ . •' ... van teekensys- 

derst de ontoereikendheid er van blijkt, is getrokken temen.onafhan- 
door HiLBERT (Verhandlungen des internationalen '^^''J'^ ^^" ^"" 

. beteekenis. 

Mathematiker-Congresses m Heidelberg 1904, pag. 
174). In ,,Ueber den Zahlbegriff" (Jahresber. der 
Deutschen Math. Ver. VIII) had hij de axioma's van 
de hoofdbewerkingen op het meetbaar continuüm 
geformuleerd en het probleem gesteld, onafhankelijk 
van eenige wiskundige intuïtie, de niet-strijdigheid van 
die axioma's te bewijzen (vgl. ook ,, Mathematische 

169 



Probleme", Problem n° 2, Gött. Nachr. 1900, 
pag. 264.) 

Het spreekt van zelf, dat dit alleen te bereiken is 
door de teekens, die de axioma's uitdrukken, zelf 
als een wiskundig systeem te beschouwen, de prin- 
cipes van de logica volgens de algebra der logica 
te formuleeren als regels om dat systeem verder uit 
te bouwen, en dan wiskundig te bewijzen, dat die 
uit de algebra der logica afgelezen bouwregels 
nooit tegelijk een vergelijking en haar ontken- 
ning zullen kunnen afleiden. Het geheel der uit 
de axiomatische grondvergelijkingen af te leiden 
vergelijkingen vormt natuurlijk een aftelbaar oneindig 
systeem. ^) 

HiLBERT schetst l.c. de wijze van uitvoering *) 
dezer niet-strijdigheidsbewijzen in groote trekken, 
niet alleen voor het zooeven genoemde stel axioma's 
der hoofdbewerkingen, maar ook voor dat van 
verschillende andere deelen der wiskunde. Zoo 
voert hij b.v. om de grondslagen der Mengenlehre 
te leggen pag. 182 — 184 het klassesymbool in, 



') Immers het geheel van alle combinaties van een eindig aantal 
der ingevoerde teekens (waartoe ook het teeken = behoort, en 
die eindig in aantal zijn voor elke wiskundige theorie) blijft aftel- 
baar, a fortiori dus het geheel van die bijzondere der teeken- 
combinaties, die als ware vergelijkingen zijn te lezen. 

*) Een enkele maal vergist hij zich, waar hij n.1. pag. 181 een 
niet-strijdigheid door een voorbeeld bewijst, wat van het door 
hem ingenomen standpunt natuurlijk ongeoorloofd is. 

170 



maar alleen in relatie tot reeds ingevoerde sym- 
bolen, waardoor hij beveiligd is voor de contradicties 
van RusSELL, die klassen invoerde, als door een 
definitie omgrepen deelen van het al. 

Nu heelt Hilbert evenwel, zooals hij in i:ijn 
inleiding uitdrukkelijk zegt, de adspiratie, om van 
niets af te beginnen en de wiskunde en de logica 
zich gezamenlijk te laten ontwikkelen. Maar bij de 
zooeven genoemde redeneeringen over niet-strijdig- 
heid van axioma's, gebruikt hij steeds intuïtief termen 
als een., twee, drie, eenige (daarbij een zeker eindig 
getal bedoelend) en past verder intuïtief alle wetten 
der logica en ook de volledige inductie toe. 

Om zich van deze belasting met intuïtieve elemen- De poging tot 
ten te ontdoen, gaat hij ten slotte (l.c. pag. 184, V) hew'iSnvande 
in eens zijn eigen te voren geschreven woorden intuïtie, 
bekijken, ziet die complex van woorden en rede- 
neeringen als een wiskundig gebouw aan, dat ook 
weer volgens regels zich van het begin naar het 
einde ontwikkelt, en zegt : 

,,De wetten volgens welke ik dat taaigebouw zich 
zie ontwikkelen, heb ik zooeven bewezen, dat niet- 
strijdig, dus juist zijn. M.a.w. de daar in die taal 
van mij gehouden redeneeringen bewijzen meteen 
het intuïtieve in hun eigen daad als gerechtvaardigd." 

Dat is fout en om de volgende reden : 

Vooreerst de grond, waarop hij steunt, blijft de 
intuïtie van zooeven ; immers hij weet alleen : als de 
intuïtie van zooeven juist is, dan volgt daaruit, dat 

171 



de woorden, die die intuïtie begeleiden, zich ont- 
wikkelen volgens een niet-strijdig logisch systeem, 
wat geen nieuws is : wie zal een wiskundige stelling 
bewijzen, door op grond van die stelling zelf haar 
nog eens af te leiden, en dan te zeggen: ,,nu is 
meteen het onderstelde gerechtvaardigd"? 

Maar verder : De niet-strijdigheid van het taal- 
systeem, op grond der wiskundige intuïtie afgeleid, 
bewijst niet omgekeerd de wiskundige intuïtie, die 
ze begeleidt, zooals we boven bij de behandeling 
der axiomatische grondslagen hebben aangetoond, 
(vgl. ook PoiNCARÉ, Revue de Métaphysique et de 
Morale igo5, pag. 834.) 

De gewraakte methode overtreft die der logistici 
doordat zij de ongeoorloofde sprong uit het oude 
wiskundige gebied door de taaldaad naar een nieuw 
meermalen achtereen uitvoert en dan doordat zij niet, 
zooals de logistici, voor twee zulke wiskundige gebie- 
den, die alleen via de taalklanken verband houden, 
dat intuïtieve verband handhaaft, dus ze als ongelijk- 
soortig blijft behandelen, maar ze gaat verwarren en 
op één lijn stellen. De logistici voeren den sprong 
eenmaal uit, en bewegen zich dan wisselend op 
beide gebieden, ze beide in hun beteekenis hand- 
havend ; HiLBERT doet den sprong, waar hij hem 
doet, gedecideerd en voor goed, blijft dus op het 
tweede gebied, gebruikt het eerste nog alleen, om 
het beteekenis in het tweede te geven; doet hem 
vervolgens een tweede maal weer voor goed, blijft 

172 



phasen. 



dus op het ZOO geschapen derde gebied, en gebruikt 
daar het eerste en het tweede nog alleen, om ze 
beteekenis in het derde te geven. 

Ter toelichting sommen we in genetische volgorde 
op de hier te onderscheiden verschillende phasen : 

J. Het zuivere bouwen van intuïtieve wiskundige opsomming 
systemen, die zoo ze worden toegepast, in het ^^! '"^^''f '"f" 

•' ' . sche behande- 

leven worden veruiterlijkt, door de wereld wiskundig lingderwisicun- 

te zien. de verwarde 

2. De taalparallel der wiskunde : het wiskundig 
spreken of schrijven. 

3. Het wiskundig zien van de taal: opgemerkt 
worden logische taal gebouwen, opgetrokken volgens 
principes uit de gewone logica of uit de uitbreiding 
daarvan met relatielogica, de logistiek, maar de 
elementen dier taaigebouwen zijn taalbegeleidingen 
van wiskundige gebouwen of relaties. 

4. Het niet meer denken aan een beteekenis 
van de elementen der zooeven genoemde logische 
figuren; en het nabouwen van die figuren door een 
nieuw wiskundig systeem der tweede orde, voorloopig 
zonder taal, die het bouwen begeleidt; het is het 
systeem van de logistici, dat bij de minste vrije 
generalizeerende uitbreiding zeer goed vatbaar wordt 
voor de figuur der contradictie, tenzij daartegen de 
voorzorgsmaatregelen van Hilbert worden genomen, 
en het zijn deze voorzorgsmaatregelen, die den eigenlij- 
ken inhoud der verhandeling van Hilbert uitmaken. 

173 



5. De taal der logistiek, d.w.z. de woorden, 
die het logistisch bouwen begeleiden en motiveeren; 
Peano zorgt wel zooveel mogelijk om ook de 
begeleidende gedachten aan symbolische teekens te 
binden; niettemin blijft dan het systeem te splitsen 
in het eigenlijke gebouw, en de principes volgens 
welke het gebouw zich ontwikkelt; al worden die 
principes eveneens symbolisch geformuleerd, zulke 
formuleeringen moeten worden beschouwd als hete- 
rogeen ten opzichte van de verdere formules, 
waarop die eerste worden toegepast niet als formu- 
leeringen, maar als intuïtieve daden, waarvan de 
toegevoegde formuleeringen slechts de taaibegelei- 
dingen zijn. 

HiLBERT heeft die intuïtieve daden, dus ook de 
begeleidende taal meer noodig dan Peano, omdat 
hij de niet-strijdigheid van zijn logistisch systeem 
in zichzelf wil bewijzen, iets waarom Peano zich 
niet bekommert. 

Tot de vijfde phase behoort de woordinhoud 
der verhandeling van Hilbert tot aan pag. 184, V. 

6. Het wiskundig zien van die taal; dezen stap 
uitdrukkelijk te doen, is iets essentieels bij Hilbert 
in onderscheid van Peano en Russell; hij merkt, 
op zijn eigen woorden terugziende, logische figuren 
op, die zich ontwikkelen volgens logische en arith- 
metische principes, ook o.a. het theorema der vol- 
ledige inductie; de elementen dezer logische figuren, 
zooals de woorden mehrere, zwei, Fortsetzung, an 

174 



stelle V071, belicbig, enz. zijn taaibegeleidingen van 
bouwhandelingen in het zooeven genoemde wiskundig 
systeem der tweede orde. 

7. Het niet meer denken aan een beteekenis 
van de elementen der zooeven genoemde logische 
figuren, en het nabouwen er van door een nieuw 
wiskundig systeem der derde orde, voorloopig zonder 
begeleidende taal. 

Den overgang van 6 naar 7 volvoert HlLBERTfw^yw 
gedachten l.c. pag. 184 en i85 onder V, eerste alinea. 

8. De taaibegeleiding van het wiskundig systeem 
der derde orde, die den opbouw van dat systeem 
motiveert, en de niet-strijdigheid er van aantoont. 

Deze phase is, in de woorden der zooeven ge- 
noemde alinea l.c. pag. 184, i85, de laatste die bij 
HiLBERT wordt aangetroffen. 

Men zou nog verder door kunnen gaan, maar de 
wiskundige systemen van nog hooger orde zouden 
alle ongeveer eikaars copieën zijn; het heeft dus 
geen zin den gang verder voort te zetten. 

Intusschen de vorige phasen, vanaf de derde zijn 
evenmin van wiskundig belang. Wiskunde behoort 
slechts in de eerste thuis; van de tweede kan zij 
zich in het practische leven niet vrijhouden, maar 
die phase blijft een niet-wiskundige onbewuste daad, 
al of niet vervolgens door toegepaste wiskunde geleid 
en gesteund, maar nooit een prioriteit ten opzichte 
der intuïtieve wiskunde verkrijgend. 



175 



De kritiek van De logistiek en het cantorisme zijn reeds scherp 
PoiNCARE. gekritizeerd door Poincaré (Revue de Métaphysi- 
que et de Morale igoS, n° 6; 1906, n° 1, 3); 
hij laakt voornamelijk in de logistiek de petitio 
principii en in het cantorisme de aanname van 
het actueel oneindige. Zoo raakt hij intusschen 
niet het hart van de kwestie, dat dieper zit, n.1. in 
de verwarring van de daad van het bouwen der 
wiskunde en de taal der wiskunde. 

De petitio principii is in zekeren zin geoorloofd, 
want waar die in de daad van den opbouw van 
het taalsysteem wordt uitgevoerd, raakt zij aan de 
volkomenheid van dat taaigebouw als zoodanig niet; 
een ongeoorloofde petitio principii in de wiskunde 
zouden we alleen hebben, als op grond van een 
primaire wiskundige intuïtie later in verdere phasen 
van het wiskundig bouwen diezelfde intuïtie weer 
voor den dag zou komen, en dan zou worden 
gesignaleerd als niet primair. 

Maar de fout der logistiek bestaat hierin, dat zij 
niets schept dan een taaigebouw, dat nooit in de 
eigenlijke wiskunde kan worden overgevoerd. ') 

En het actueel oneindige der Cantorianen, dit 
bestaat wel degelijk, als we het maar beperken tot 
het intuïtief opbouwbare, en dat niet door niet te 
verwezenlijken logische combinaties willen uitbreiden. 

^) Wèl wordt de petitio principii natuurlijk ongeoorloofd, zoodra 
men, zooals Hilbert, uit het taalsysteem omgekeerd op de pri- 
maire intuïtie, die het begeleidt, wil concludeeren. 

176 



Hoe weinig Poincaké er aan denkt, den intuï- 
tieven boiiw der wiskunde als eenigen grondslag 
voor zijn kritiek te nemen, blijkt uit zijn woorden 
(l.c. pag. 819): 

,,Les mathématiques sont indépendantes de l'exis- 
tence des objets matériels; en mathématiques Ie 
mot exister ne peut avoir qu'un sens, il signifie 
exempt de contradictioji." 

Het doet haast aan zijn tegenstander Russell 
denken. De wiskunde is zeker geheel onafhankelijk 
van de materieele wereld, maar bestaan in wisknnde 
beteekent : intuitief zijn opgebouwd; en of een bege- 
leidende taal vrij van contradictie is, is niet alleen 
op zichzelf zonder belang, maar ook geen criterium 
voor het wiskundig bestaan. 

Het wiskundig bekijken van taalteekens, 't zij 
woorden of Peanistische teekens, kan omtrent de 
wiskunde niets leeren; men beschouwe wiskundige 
formules niet als een onafhankelijk bestaan voerende 
,, waarheden", maar alleen als hulpmiddel door tee- 
kens, om zich zoo ekonomisch mogelijk te herinneren, 
hoe in een zeker gebouw een ander gebouw is 
ingepast. Zoo leze men in de formule 

13 = 7 + 6 

de herinnering aan het inpassen in een groep waar- 
langs men tot 13 kan tellen van een groep bestaande 
uit de iuxtapositie van een groep waarlangs men 
tot 6, en een waarlangs men tot 7 kan tellen. 

12 177 



Samenvattende : 

De wiskunde is een vrije schepping, onafhankelijk 
van de ervaring ; zij ontwikkelt zich uit een enkele 
aprioristische oer-intuïtie, die men zoowel kan noemen 
constantheid in wisseling als eenheid in veelheid ^). 

Vervolgens het projecteeren van wiskundige 
systemen op de ervaring is eveneens een vrije 
daad, die in den strijd om het bestaan doeltreffend 



') De eerste bouwdaad heeft tivee samengedachte discrete 
dingen (zoo ook Cantor, Vortrag auf der Naturforscherversamm- 
lung in Kassei 1903); F. Meyer (Verhandl. des Heidelberger 
Kongresses p. 678) zegt dat ééfi ding genoeg is, want dat de 
omstandigheid dat ik dat ding denk er als tweede ding bij kan 
worden genomen; wat onjuist is, want juist Aal er bij nemen {d.w.z. 
stellen onder vasthouding van het vroeger gedachte) vooronder- 
stelt de intuïtie van ttvee ; welk wiskundig systeem dan eerst 
daarna op het oorspronkelijk gedachte ding en het ik, dat het 
ding detikt, wordt toegepast. 

179 



blijkt; het eene wiskundige systeem kan daarbij 
praktischer, ekonomischer blijken, dan het andere, 
althans voorzoover betreft een bepaalde kategorie 
van doeleinden, die men door middel van die systemen 
tracht te bereiken : absoluut doeltreffend zijn ze 
geen van alle, de Euclidische meetkunde even 
weinig als de logische redeneeringen of de elec- 
tronentheorie. 

In de wiskunde behooren wiskundige definities en 
eigenschappen niet zelf weer wiskundig te worden be- 
keken, maar alleen een middel te zijn, om eigen herin- 
nering of mededeeling aan anderen van een wiskundig 
gebouw zoo ekonomisch mogelijk te leiden. Er zijn ele- 
menten van wiskundige bouwing, die in het systeem der 
definities onherleidbaar moeten blijven, dus bij mede- 
deeling door een enkel woord, klank of teeken, 
weerklank moeten vinden ; het zijn de uit de oer- 
intuïtie of continuumintuïtie afgelezen bouwelemen- 
ten; begrippen als continu, eenheid, nog eens, enzoo- 
voort zijn onherleidbaar. 

Een logische opbouw der wiskunde, onafhankelijk 
van de wiskundige intuïtie, is onmogelijk — daar 
op die manier slechts een taaigebouw wordt ver- 
kregen, dat van de eigenlijke wiskunde onher- 
roepelijk gescheiden blijft — en bovendien een con- 
tradictio in terminis — daar een logisch systeem, zoo 
goed als de wiskunde zelf, de wiskundige oer-intuïtie 
noodig heeft. 



i8o 



NAMENREGISTER. 



Ampère (II) 92. 

Apollonius (III) 126. 

Aristoteles (III) i35. 

Bernstein (I) 64; (III) i53, i56, iSy. 

BOLYAI (III) i36. 

Borel (III) l52. 

BURALI-FORTI (III) l5l. 

Cantor (I) 7, 10, 67; (III) i33, 142 — 147. i5i, 
i52; 179- 

COPERNICUS (II) 104. 

CouTURAT (II) 94, 99, 109, iio; (III) 165 — 167. 

Dedekind (I) 72; (III) i38 — 140, 160, 166. 

Desargues (I) 73. 

D1R1CHLET (II) 88. 

Euclides (I) 55; (II) iio, 121; (III) i33— 137. 

Hamel (I) 57, 59, 60; (II) 108. 

Helmholtz (I) 48—50, 76; (II) 94, 99, 112, ii3. 

HiLBERT (I) 35, 5i, 52, 60, 61, 67, 74—76; (11^ 88; 

181 



(III) 126, i33, 134, i36 — 138, 140, 142, 146, 

169 — 176. 
Kant (II) 94, ii3 — ii5, 118, 121; (III) i35. 
Klein (I) 42, 5i, 64, 55; (II) iio. 
Lagrange (II) 89, 91. 
Lechalas (II) 94. 
Leibnitz (III) 129. 
LiE (I) 25, 35, 41, 42, 47, 49 — 5i; (II) 112, ii3; 

(III) 126, 140. 
Lobatcheffsky (I) 56; (III) i33, 134, i36. 
LüROTH (I) 54. 
Mannoury (III) 140. 
Meyer 179. 

MiNKOWSKI (I) 59, 61. 

Pappus (I) 74. 

Pascal (I) 74 — 76. 

Pasch (III) i33, i36. 

Peano (III) i33, 161, 166, 167, 174. 

PlERI (III) i33. 

POINCARÉ (II) 88, 89, 94, 104, 106, 107; (III) 167, 

172, 176, 177- 
Pringsheim (II) 88. 
RiEMANN (I) 47 ; (II) 94, 99 ; (III) i36. 
RussELL (II) 94, 99, 106, 108 — III, 116, 121 ; (III) 

i33, 161 — 168, 171, 174, 177. 
SCHOENFLIES (I) lo ; (IH) i58. 
SCHRÖDER (III) l53. 

ScHUR (I) 35, 55, 74; (III) i33. 
Spinoza (III) i35. 

182 



Thomson (II) 90. 
Vahlen (I) 75 ; (III) 140. 
Whitehead (III) iSg. 
Zermelo (III) l52. 
Zeuthen (I) 54. 



i83 



4 



d 



PLEASE DO NOT REMOVE 
CARDS OR SLIPS FROM THIS POCKET 



UNIVERSITY OF TORONTO LIBRARY 



P&ASci.